Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，且AC⊥AB，若AB=6，cos∠DBA=

9

11

，求AD．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,解直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：作出圖形，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)E，判斷出四邊形AECD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=CE=AD，然后求出∠CAE=∠ACE，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABC=∠BAE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE=AE，從而求出AD=AE=

1

2

BC，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)cos∠DBA求出OB，利用勾股定理列式求出AO，再根據(jù)△AOD和△BOC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OC，從而得到AC，然后利用勾股定理列式求出BC，即可得解．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交BC于點(diǎn)E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
又∵AD=CD，
∴四邊形AECD是菱形，
∴AE=CE=AD，
∴∠CAE=∠ACE，
∵AC⊥AB，
∴∠BAE+∠CAE=∠ABC+∠ACE=90°，
∴∠ABC=∠BAE，
∴BE=AE，
∴AD=AE=

1

2

BC，
設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O，∵AB=6，cos∠DBA=

9

11

，
∴OB=6÷

9

11

=

22

3

，
由勾股定理得，AO=

OB2-AB2

=

( 22 3 )2-62

=

4 10

3

，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴

AO

OC

=

AD

BC

=

1

2

，
∴OC=2AO=

8 10

3

，
∴AC=AO+OC=

4 10

3

+

8 10

3

=4

10

，
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=

62+(4 10 )2

=14，
∴AD=

1

2

BC=

1

2

×14=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)，解直角三角形，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出菱形和直角三角形并求出AD=

1

2

BC．