Question

已知：如圖，正方形ABCD，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN =45⁰，連結(jié)MN.

(1)若正方形的邊長為a，求BM·DN的值；

(2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(1) ∵BM、DN分別平分正方形的外角，

∴ ∠CBM= ∠CDN =45°．

    ∴∠ABM= ∠ADN= 135°，

    ∵∠MAN =45°．

    ∴∠BAM+ ∠NAD =45°．

    在△ABM中，∠BAM+∠AMB=180°-135°=45°,

    ∴∠NAD=∠AMB、

    在△ABM和△NDA中，

    ∵∠ABM=∠NDA, ∠NAD=∠AMB

    ∴△ABM≌△NDA．                 

    ∴   

    ∴BM·DN=AB·AD=a²                                

(2)以BM、D．N、MN所組成三角形為直角三角形，證明如下：

如圖過點A作AN的垂線AF，在該垂線上截取AF =AN，連接BF、FM.

    (或?qū)ⅰ鰽ND繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至△ABF的位置，使得AD與AB重合，連接BF、

   FM，或以AM為對稱軸作△AMN的對稱圖形△AMF、連結(jié)BF)

      ∵∠1+∠BAN= 90° , ∠3+ ∠BAN= 90°.

   ∴∠l=∠3

    在△ABF和△AND中

∵AB =AD，∠l=∠3，AF =AN

∴△ABF≌△ADN，

∴BF= DN，∠FBA=∠NDA =135⁰            

∵∠FAN= 90⁰. ∠MAN =45⁰.

∴∠1+ ∠2 =45⁰= ∠FAM=∠MAN，

在△AFM和△ANM中．

∵AF =AN,  ∠FAM=∠LMAN ，AM=AM……

∴△AFM≌△ANM                      

∴FM=NM．

∴∠FBP =180⁰一∠FBA=180⁰—135⁰=45⁰

∴∠FBP+∠PBM=45⁰+45⁰=90⁰．

∴△FBM為直角三角形，

∵FB=DN．FM=MN．

∴以BM、DN、MN為三邊的三角形為直角三角形．   

說明：若計算出MN²= BM²+ DN²再用勾般定理的逆定理得出該三角形為直角三角形（亦

可）．