Question

如圖，直線y=3x+3與 x軸、y軸分別交于點B、A，O為原點，ΔAOB繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90^o后得到ΔCOD。

1.求A、B、C、D四點的坐標(biāo)

2.求經(jīng)過A、B、C、三點的拋物線的解析式

3.設(shè)E為拋物線的頂點，連接DE，在線段DE上是否存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與ΔDOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

 

1.∴A（0，3）    B（-1，0）C（3，0）   D（0，1）

2.y=-x²+2x+3

3.存在點P，當(dāng)P為（，2）時，以C、D、P為頂點的三角形與ΔDOC相似。

解析:解：（1）在y=3x+3中，令y=0得x=-1，令x=0得y=3

      ∴A（0，3）    B（-1，0）

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OD=OB=1 OC=OA=3

      ∴C（3，0）    D（0，1）…………………………  3分

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-x₁)( x-x₂) 

      ∵點B（-1，0）    C（3，0）

       ∴y=a（x+1）（x-3）

把A（0，3）代入y=a（x+1）（x-3）得a=-1

       ∴ y=-（x+1）（x-3）

       即y=-x²+2x+3 ………………………… 6分

（3）   ∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4

        ∴E（1，4）…………………………  7分

        作EF⊥y軸于點F，則EF=1   OF=4

        ∴ FD=4-1=3

        ∵tan∠ADE=   tan∠DCO=

        ∴∠ADE=∠DCO

        ∵∠ODC+∠OCD=90^o

        ∴∠ODC+∠ADE=90 ^o

        ∴∠CDE=90 ^o…………………………8分

        ∴∠EDC=∠DOC=90 ^o

①當(dāng)時，ΔODC∽ΔDPC

∵

∴      ∴…………………9分

過點P作PG⊥y軸于G

∵tan∠EDF=

∴設(shè)PG=X   DG=3x

∵DG²+PG²=DP²

∴       ∴  （舍去負(fù)值）

∴      ∴OE=1+1=2

∴P（，2）………………………… 10分

當(dāng)時，ΔODC∽ΔDCP

∴         ∴DP=

∵   所以不合題意舍去……11分

∴存在點P，當(dāng)P為（，2）時，以C、D、P為頂點的三角形與ΔDOC相似。