Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

1

2

x+b（b＞0）分別交x軸，y軸于A、B兩點，以O(shè)A、OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點．當b=

6

時，點C在函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）當b=

5

2

時，過點A作AB的垂線與函數(shù)y=

k

x

的圖象在第一象限內(nèi)的交點為P，求點P的坐標；
（3）在b值的變化過程中，上題求得的點P與點C、D能否構(gòu)成等腰三角形？若能夠，求出所有符合條件的b值；若不能，試說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）在y=-

1

2

x+

6

中，令x=0，解得y=

6

，求得B的坐標，令y=0求得A的坐標，則C的坐標即可求得；
（2）首先求得AP的解析式，然后解直線解析式與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組即可求得P的坐標；
（3）若點P與點C、D能否構(gòu)成等腰三角形，則CD=CP，首先求得C和D的坐標，根據(jù)CD=CP即可列方程求得b的值．

解答： 解：（1）在y=-

1

2

x+

6

中，令x=0，解得y=

6

，則B的坐標是（0，

6

）．
令y=0，解得：x=2

6

，則A的坐標是（2

6

，0）．
則C的坐標是（2

6

，

6

）．
把C代入y=

k

x

得：k=12．
則函數(shù)的解析式是：y=

12

x

；
（2）b=

5

2

時，直線y=-

1

2

x+

5

2

，令y=0，解得：x=5，
則A的坐標是（5，0）．
設(shè)AP的解析式是：y=2x+c，把（5，0）代入得：c=-10，
則直線AP的解析式是：y=2x-10．
解方程組

y=2x-10 y= 12 x

，
解得：

x=6 y=2

或

x=-1 y=-12

（舍去）．
則P的坐標是（6，2）；
（3）在y=-

1

2

x+b（b＞0）中，令x=0，解得y=b，則B的坐標是（0，b）．
令y=0，解得：x=2b，則A的坐標是（2b，0）．
故C的坐標是（2b，b），C的坐標是（b，b）．CD=b．
若點P與點C、D能否構(gòu)成等腰三角形，則CD=CP．
即（6-2b）²+（2-b）²=b²，
解得：b=2或5．

點評：本題是二次函數(shù)與矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解點P與點C、D能否構(gòu)成等腰三角形，則CD=CP是關(guān)鍵．