Question

如圖，直線AC與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C（-2，0）、A（0，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，BD交OA于點(diǎn)H．
（1）請(qǐng)求點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（2）有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q分別從點(diǎn)C和點(diǎn)O同時(shí)沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度分別為2個(gè)單位每秒和1個(gè)單位每秒，設(shè)△PQH的面積為S，點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）；
（3）請(qǐng)問(wèn)t為何值時(shí)，△PQH的面積是△B0H的面積的

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）證明△ACO≌△BHO，求出OH=OC即可；
（2）分三種情況討論：①當(dāng)0＜t＜1時(shí)；②當(dāng)1＜t＜2時(shí)；③當(dāng)t＞2時(shí)；以PQ為底，高為OH，分別求出S即可；
（3）先求出S_△BOH，再得出S=1，代入（2）中函數(shù)關(guān)系式，即可求出t的值．

解答： 解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵C（-2，0），A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，OC=2，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠CBD=90°，
∴∠CAO=∠CBD，
在△ACO和△BHO中，

∠CAO=∠CBD   OA=OB   ∠AOC=∠BOH=90°

∴△ACO≌△BHO（ASA），
∴OH=OC=2，
∴H（0，2）；
（2）分三種情況討論：
①當(dāng)0＜t＜1時(shí)，CP=2t，OQ=t，
∴OP=2-2t，PQ=2-2t+t=2-t，
∴S=

1

2

×（2-t）×2=2-t，
∴S=2-t（0＜t＜1）；
②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，CQ=2+t，CP=2t，OQ=t，
∴PQ=CQ-CP=2+t-2t=2-t，
∴S=

1

2

×（2-t）×2=2-t，
∴S=2-t（1＜t＜2）；
③當(dāng)t＞2時(shí)，PQ=2t-2-t=t-2，
∴S=

1

2

×（t-2）×2=t-2，∴S=t-2（t＞2）；
綜上所述：S=2-t（0＜t＜2），或S=t-2（t＞2）；
（3）∵S_△BOH=

1

2

×2×4=4，
∴S=

1

4

S_△BOH=1，
當(dāng)2-t=1時(shí)，t=1；
當(dāng)t-2=1時(shí)，t=3；
∴當(dāng)t=1或3時(shí)，△PQH的面積是△B0H的面積的

1

4

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)關(guān)系式的求法、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算方法；由點(diǎn)的坐標(biāo)確定有關(guān)線段的長(zhǎng)度和分類(lèi)討論三角形的面積是解題的關(guān)鍵．