Question

如圖，直線AC與x軸、y軸分別交于點C（-2，0）、A（0，4），B點坐標為（4，0），過點B作BD⊥AC于D，BD交OA于點H．
（1）請求點H的坐標；
（2）有兩個動點P和Q分別從點C和點O同時沿x軸正方向勻速運動，速度分別為2個單位每秒和1個單位每秒，設△PQH的面積為S，點P、點Q的運動時間為t秒，請求S與t之間的函數(shù)關系式．（請直接寫出相應的自變量t的取值范圍）；
（3）請問t為何值時，△PQH的面積是△B0H的面積的

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4

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）證明△ACO≌△BHO，求出OH=OC即可；
（2）分三種情況討論：①當0＜t＜1時；②當1＜t＜2時；③當t＞2時；以PQ為底，高為OH，分別求出S即可；
（3）先求出S_△BOH，再得出S=1，代入（2）中函數(shù)關系式，即可求出t的值．

解答： 解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵C（-2，0），A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，OC=2，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠CBD=90°，
∴∠CAO=∠CBD，
在△ACO和△BHO中，

∠CAO=∠CBD   OA=OB   ∠AOC=∠BOH=90°

∴△ACO≌△BHO（ASA），
∴OH=OC=2，
∴H（0，2）；
（2）分三種情況討論：
①當0＜t＜1時，CP=2t，OQ=t，
∴OP=2-2t，PQ=2-2t+t=2-t，
∴S=

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×（2-t）×2=2-t，
∴S=2-t（0＜t＜1）；
②當1＜t＜2時，CQ=2+t，CP=2t，OQ=t，
∴PQ=CQ-CP=2+t-2t=2-t，
∴S=

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2

×（2-t）×2=2-t，
∴S=2-t（1＜t＜2）；
③當t＞2時，PQ=2t-2-t=t-2，
∴S=

1

2

×（t-2）×2=t-2，∴S=t-2（t＞2）；
綜上所述：S=2-t（0＜t＜2），或S=t-2（t＞2）；
（3）∵S_△BOH=

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×2×4=4，
∴S=

1

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S_△BOH=1，
當2-t=1時，t=1；
當t-2=1時，t=3；
∴當t=1或3時，△PQH的面積是△B0H的面積的

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4

．

點評：本題考查了點的坐標、函數(shù)關系式的求法、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計算方法；由點的坐標確定有關線段的長度和分類討論三角形的面積是解題的關鍵．