【題目】已知,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)P在直線BC上,點(diǎn)G在直線AD上(P、G不與正方形頂點(diǎn)重合,且在CD的同側(cè)),PD=PG,DF⊥PG于點(diǎn)H,交直線AB于點(diǎn)F,將線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,連結(jié)EF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時(shí).
①求證:DG=2PC;
②求證:四邊形PEFD是菱形;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(2)四邊形PEFD是菱形.理由見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)①作PM⊥DG于M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由PD=PG得MG=MD,根據(jù)矩形的判定易得四邊形PCDM為矩形,則PC=MD,于是有DG=2PC;
②根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD=AB,由四邊形ABPM為矩形得AB=PM,則AD=PM,再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG,于是可根據(jù)“ASA”證明△ADF≌△MPG,得到DF=PG,加上PD=PG,得到DF=PD,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EPG=90°,PE=PG,所以PE=PD=DF,再利用DF⊥PG得到DF∥PE,于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形,加上DF=PD,則可判斷四邊形PEFD為菱形;
(2)與(1)中②的證明方法一樣可得到四邊形PEFD為菱形.
試題解析:(1)①作PM⊥DG于M,如圖1,
∵PD=PG,
∴MG=MD,
∵四邊形ABCD為矩形,
∴PCDM為矩形,
∴PC=MD,
∴DG=2PC;
②∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=AB,
∵四邊形ABPM為矩形,
∴AB=PM,
∴AD=PM,
∵DF⊥PG,
∴∠DHG=90°,
∴∠GDH+∠DGH=90°,
∵∠MGP+∠MPG=90°,
∴∠GDH=∠MPG,
在△ADF和△MPG中, ,
∴△ADF≌△MPG(ASA),
∴DF=PG,
而PD=PG,
∴DF=PD,
∵線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,
∴∠EPG=90°,PE=PG,
∴PE=PD=DF,
而DF⊥PG,
∴DF∥PE,
即DF∥PE,且DF=PE,
∴四邊形PEFD為平行四邊形,
∵DF=PD,
∴四邊形PEFD為菱形;
(2)解:四邊形PEFD是菱形.理由如下:
作PM⊥DG于M,如圖2,
與(1)一樣同理可證得△ADF≌△MPG,
∴DF=PG,
而PD=PG,
∴DF=PD,
∵線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,
∴∠EPG=90°,PE=PG,
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG,
∴DF∥PE,
即DF∥PE,且DF=PE,
∴四邊形PEFD為平行四邊形,
∵DF=PD,
∴四邊形PEFD為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由于霧霾天氣頻發(fā),市場(chǎng)上防護(hù)口罩出現(xiàn)熱銷.某藥店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批兩種不同型號(hào)口罩進(jìn)行銷售.下表是甲、乙兩人購(gòu)買兩種型號(hào)口罩的情況:
A型號(hào)數(shù)量(單位:個(gè)) | B型號(hào)數(shù)量(單位:個(gè)) | 總售價(jià)(單位:元) | |
甲 | 1 | 3 | 26 |
乙 | 3 | 2 | 29 |
(1)求一個(gè)型口罩和一個(gè)型口罩的售價(jià)各是多少元?
(2)藥店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的口罩共50個(gè),其中型口罩?jǐn)?shù)量不少于35個(gè),且不多于型口罩的3倍,有幾種購(gòu)買方案?請(qǐng)寫出購(gòu)買方案.
(3)在(2)的條件下,藥店在銷售完這批口罩后,總售價(jià)能否達(dá)到282元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A、B為x軸上兩點(diǎn),C、D為y軸上的兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分c1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分c2組合成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線成為“蛋線”.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣ ),點(diǎn)M是拋物線C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的頂點(diǎn).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將周長(zhǎng)為8的△ABC沿BC方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到,則四邊形的周長(zhǎng)為( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在下列的網(wǎng)格圖中.每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)試在圖中作出△ABC以A為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的圖形△AB1C1;
(2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,5),試在圖中畫(huà)出直角坐標(biāo)系,并標(biāo)出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)根據(jù)(2)中的坐標(biāo)系作出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形△A2B2C2,并標(biāo)出B2、C2兩點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(2,-3)、P(3,)、Q(-5,b)都在反比例函數(shù)的圖象y=(k≠0)上.
(1)求此反比例函數(shù)解析式;
(2)求a+的值;
(3)若反比例函數(shù)y=經(jīng)過(guò)A′(2,3),點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′、Q′在反比例函數(shù)y=的圖象上嗎?通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校九年級(jí)所有學(xué)生參加2011年初中畢業(yè)英語(yǔ)口語(yǔ)、聽(tīng)力自動(dòng)化考試,我們從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的考試成績(jī),將他們的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后分為四等,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(說(shuō)明:A級(jí):25分~30分:B級(jí):20分~24分;C級(jí):15分~19分:D級(jí):15分以下)
(1)請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中D級(jí)所占的百分比是__________;
(3)若該校九年級(jí)有850名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)全年級(jí)A級(jí)和B級(jí)的學(xué)生人數(shù)共約為_(kāi)_________人。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2…按如圖所示放置,點(diǎn)A1、A2、A3…在直線y=x+1上,點(diǎn)C1、C2、C3…在x軸上,則A5的坐標(biāo)是___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三角形角平分線交點(diǎn)或三角形內(nèi)切圓的圓心都稱為三角形的內(nèi)心.按此說(shuō)法,四邊形的四個(gè)角平分線交于一點(diǎn),我們也稱為“四邊形的內(nèi)心”.
(1)試舉出一個(gè)有內(nèi)心的四邊形.
(2)探究:對(duì)于任意四邊形ABCD,如果有內(nèi)心,則四邊形的邊長(zhǎng)具備何種條件?為什么?
(3)探究:腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形ABC,∠C=90°,O是△ABC的內(nèi)心,若沿圖中虛線剪開(kāi),O仍然是四邊形ABDE的內(nèi)心,此時(shí)裁剪線有多少條?
(4)問(wèn)題(3)中,O是四邊形ABDE內(nèi)心,且四邊形ABDE是等腰梯形,求DE的長(zhǎng)?
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