(2012•通州區(qū)一模)已知二次函數(shù)y=-x2+2ax-4a+8
(1)求證:無論a為任何實數(shù),二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點.
(2)當x≥2時,函數(shù)值y隨x的增大而減小,求a的取值范圍.
(3)以二次函數(shù)y=-x2+2ax-4a+8圖象的頂點A為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形AMN(M,N兩點在二次函數(shù)的圖象上),請問:△AMN的面積是與a無關(guān)的定值嗎?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.
分析:(1)利用一元二次方程根的判別式進行判斷,若△>0,則-x2+2ax-4a+8=0有兩個不相等的實數(shù)根,即
二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點,據(jù)此可求出a的取值范圍.
(2)將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式,找到對稱軸,根據(jù)對稱軸在x=2的左側(cè)或與x=2重合得到a≤2.
(3)解法一:正三角形的面積只與二次函數(shù)圖形的開口大小有關(guān),二次函數(shù)y=-x2+2ax-4a+8的圖象可以看做是二次函數(shù)y=-x2的圖象通過平移得到的,于是研究y=-x2的圖象與正三角形△A'M'N'的面積即可,計算出M′N′H和A′B′即可計算三角形的面積為定值;
解法二:根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性,可知MN⊥y軸,利用三角函數(shù)求出AB=
3
BM
,設(shè)M(m,n),得到BM=a-m(m<a),AB=yA-yB=a2-4a+8-n,計算出它們的值,利用三角形面積公式計算出面積為定值.
解答:解:(1)∵△=4a2-16a+32=4(a-2)2+16,
無論a為何實數(shù)△=4(a-2)2+16>0,
∴拋物線與x軸總有兩個交點.

(2)∵y=-x2+2ax-4a+8,
∴y=-(x-a)2+a2-4a+8,
∴由題意得,對稱軸在x=2的左側(cè)或與x=2重合,
故a≤2.

(3)如圖:

解法一:以二次函數(shù)y=-x2+2ax-4a+8圖象的頂點A為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形AMN(M,N兩點在二次函數(shù)的圖象上),
這個正三角形的面積只與二次函數(shù)圖形的開口大小有關(guān).
二次函數(shù)y=-x2+2ax-4a+8的圖象可以看做是二次函數(shù)y=-x2的圖象通過平移得到的.
如圖,正三角形AMN的面積等于正三角形△A'M'N'的面積.
因此,與a的取值無關(guān),
∵點A',M,'N'在二次函數(shù)y=-x2的圖象上,
∴A'(0,0),M'(-m,-m2),N'(m,-m2),B'(0,-m2),B'N'=m,A′B′=
3
m
,
∵點N'在y=-x2的圖象上,
∴A'B'=m2,
m2=
3
m
,
m=0,或m=
3
m=0(舍去),
m=
3
,
M′N′=2
3
,A'B'=3,
△A′M′N′=
1
2
M′N′×A′B′=
1
2
2
3
×3=3
3
,
∴正三角形AMN的面積是與a無關(guān)的定值,定值為3
3

解法二:根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性,可知MN⊥y軸,
設(shè)拋物線的對稱軸與MN交于點B,則AB=
3
BM

設(shè)M(m,n),
∴BM=a-m(m<a),
又AB=yA-yB=a2-4a+8-n
=(a2-4a+8)-(-m2+2am-4a+8)
=a2-2ma+m2
=(a-m)2

(a-m)2=
3
(a-m)
,
a-m=
3
,
BM=
3
,AB=3,
S△AMN=
1
2
AB×2BM=
1
2
×3×2×
3
=3
3
,
∴正三角形AMN的面積是與a無關(guān)的定值.
點評:本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題、根的判別式、對稱軸與不等式、二次函數(shù)的平移、正三角形的性質(zhì)等知識,綜合性強,思維含量高,需要同學(xué)們加強練習(xí),方能正確解答.
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4
5
,則坡面AC的長度為( 。

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不成立
不成立
(填:成立或不成立).
(3)若四邊形ABCD是矩形,AB=6,cos∠ACD=
3
5
,設(shè)AP=x,△PCE的面積為y,當AP>
1
2
AC時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

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