Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，過點(diǎn)A作BC的平行線與BO的延長線交于點(diǎn)P．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，BC=6，求AP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OA并延長，交BC于點(diǎn)D，利用垂徑定理的逆定理得到AD垂直于BC，根據(jù)AP與BC平行得到AD垂直于AP，即可得證；
（2）由AP與BD平行，利用兩直線平行得到兩對內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而得到三角形AOP與三角形DOB相似，由相似得比例即可確定出AP的長．

解答：解：（1）連接OA并延長，交BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AD⊥BC，
∵AP∥BC，
∴AP⊥OA，
則AP是圓O的切線；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=3，
在Rt△OBD中，OB=5，BD=3，
根據(jù)勾股定理得：OD=

OB2-BD2

=4，
∵AP∥BC，
∴∠P=∠OBD，∠PAO=∠ODB，
∴△AOP∽△DOB，
∴

AP

BD

=

OA

OD

，即

AP

3

=

5

4

，
則AP=

15

4

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定，勾股定理，垂徑定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．