Question

如圖，半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：計(jì)算題

分析：連接BC、OD、BD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理計(jì)算出BC=8，由于∠CAD=∠BAD，根據(jù)圓周角定理得到弧CD=弧BD，再根據(jù)垂徑定理的推理得OD垂直平分BC，則OE=

1

2

AC=3，BE=

1

2

BC=4，所以DE=OD-OE=2，在Rt△BDE中利用勾股定理計(jì)算出BD=2

5

，然后在Rt△ADB中利用勾股定理可計(jì)算出AD．

解答：解：連接BC、OD、BD，如圖，
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=6，
∴BC=

AB2-AC2

=8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴弧CD=弧BD，
∴OD垂直平分BC，
∴OE=

1

2

AC=3，BE=

1

2

BC=4，
∴DE=OD-OE=2，
在Rt△BDE中，BD=

BE2+DE2

=2

5

，
在Rt△ADB中，AD=

AB2-BD2

=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．