Question

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E、F．
（1）求證：PD=EF；
（2）猜想PD與EF的位置關(guān)系，不必說明理由．
（3）設(shè)正方形的邊長為4，點(diǎn)P在AC上移動(dòng)（點(diǎn)P不與A、C重合），AP的長為x，△PEF的面積為S，試寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長FP交AD于點(diǎn)G，通過SAS證明△DGP≌△FPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）延長DP交EF于H．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠DPG=∠FEP，再根據(jù)等量關(guān)系可得∠PHE=90°，從而證明結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的面積公式即可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
解答：（1）證明：延長FP交AD于點(diǎn)G，則PG⊥AD，四邊形ABFG是矩形．
∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，
∴∠PAG=∠PAE=45°，∠GAE=90°，AD=AB，
又∵PG⊥AD，PE⊥AB，
∴PG=PE，
∴四邊形AEPG為正方形，
∴PE=GA=PG，∠GPE=90°，
∴DG=FP．
在△DGP與△FPE中，
∵，
∴△DGP≌△FPE，
∴PD=EF；

（2）解：PD⊥EF，理由如下：
延長DP交EF于H．
由（1）知△DGP≌△FPE，
∴∠DPG=∠FEP，
∵∠DPG+∠EPH=180°-∠GPE=90°，
∴∠FEP+∠EPH=90°，
∴∠PHE=90°，即PD⊥EF；

（3）解：∵四邊形AEPG為正方形，AP=x，
∴PE=PG=x，
∴PF=GF-PG=4-x，
∴△PEF的面積S=•PE•PF=×x×（4-x）=-x²+x，
∵點(diǎn)P在AC上移動(dòng)（點(diǎn)P不與A、C重合），
∴0＜x＜4．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)好三角形的面積，本題關(guān)鍵是證明△DGP≌△FPE．