Question

如圖(1)，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，AD＝2，AB＝3；拋物線y＝－x²＋bx＋c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E(4，0)

(1)當(dāng)x取何值時(shí)，該拋物線的最大值是多少？

(2)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時(shí)一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動．設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為t秒(0≤t≤3)，直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖(2)所示)．

①當(dāng)時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；

②以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)；若無可能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)和點(diǎn)E(4，0) 　　故可得c＝0，b＝4 　　所以拋物線的解析式為y＝－x2＋4x　1分 　　由 　　得當(dāng)x＝2時(shí)，該拋物線的最大值是4．　2分 　　(2)①點(diǎn)P不在直線ME上． 　　已知M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，4)，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，設(shè)直線ME的關(guān)系式為y＝kx＋b． 　　 　　所以直線ME的關(guān)系式為y＝－2x＋8．　3分 　　由已知條件易得，當(dāng)時(shí)，OA＝AP＝，　4分 　　∵P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y＝－2x＋8． 　　∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上．　5分 　�、谝�P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積可能為5 　　∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上， 　　∴OA＝AP＝t． 　　∴點(diǎn)P，N的坐標(biāo)分別為(t，t)、(t，－t2＋4t) 　　∴AN＝－t2＋4t(0≤t≤3)， 　　∴AN－AP＝(－t2＋4t)－t＝－t2＋3t＝t(3－t)≥0， 　　∴PN＝－t2＋3t　6分 　　(ⅰ)當(dāng)PN＝0，即t＝0或t＝3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴S＝DC·AD＝×3×2＝3． 　　(ⅱ)當(dāng)PN≠0時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形 　　∵PN∥CD，AD⊥CD， 　　∴S＝(CD＋PN)·AD＝[3＋(－t2＋3t)]×2＝－t2＋3t＋3 　　當(dāng)－t2＋3t＋3＝5時(shí)，解得t＝1、2 　　而1、2都在0≤t≤3范圍內(nèi)，故以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為5 　　綜上所述，當(dāng)t＝1、2時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形面積為5，　7分 　　當(dāng)t＝1時(shí)，此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)(1，3) 　　當(dāng)t＝2時(shí)，此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)(2，4)　8分