Question

如圖，n+1個(gè)上底、兩腰長皆為1，下底長為2的等腰梯形的下底均在同一直線上，設(shè)四邊形P₁M₁N₁N₂面積為S₁，四邊形P₂M₂N₂N₃的面積為S₂，…，四邊形P_nM_nN_nN_n+1的面積為S_n，通過逐一計(jì)算S₁，S₂，…，可得S_n=

 

．

Answer 1

分析：先求出一個(gè)小梯形的高和面積，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比求出四邊形P_nM_nN_nN_n+1上方的小三角形的高，然后用小梯形的面積減上方的小三角形的面積即可．

解答：解：如圖，根據(jù)題意，小梯形中，
過D作DE∥BC交AB于E，
∵上底、兩腰長皆為1，下底長為2，
∴AE=2-1=1，
∴△AED是等邊三角形，
∴高h(yuǎn)=1×sin60°=

3

2

，
S_梯形=

1

2

×（1+2）×

3

2

=

3

4

3

，
設(shè)四邊形P_nM_nN_nN_n+1的上方的小三角形的高為x，
根據(jù)小三角形與△AM_nN_n相似，AN_n=2n，
由相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，可知

x

h-x

=

1

2n

，
解得x=

h

2n+1

=

1

2n+1

3

2

，
∴S_n=S_梯形-

1

2

×1×

1

2n+1

3

2

，
=

3

4

3

-

1

2n+1

•

3

4

．

點(diǎn)評：解答本題關(guān)鍵在于看出四邊形P_nM_nN_nN_n+1的面積等于一個(gè)小梯形的面積減掉它上方的小三角形的面積，而小三角形的面積可以利用相似三角形的性質(zhì)求出，此題也就解決了．