Question

如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在y軸上有一點M使△MAB的周長最小，求出此時△MAB的周長；
（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點N（不與點O、A重合），使∠NAO比∠MAO小？若存在請求出點N橫坐標(biāo)x_N的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標(biāo)，可將其解析式設(shè)為頂點坐標(biāo)式，然后將原點坐標(biāo)代入上式，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）作B關(guān)于y軸的對稱點B′（-4，0），連接AB′交y軸于M，則M即為所求的點，此時△MAB的周長最小，根據(jù)△MAB的周長=MA+MB+AB=AB′+AB即可求得．
（3）求得∠NAO=∠MAO時的N的坐標(biāo)有兩個，根據(jù)兩個交點的坐標(biāo)即可求得．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線過原點，
∴a（0-2）²+1=0，a=-

1

4

；
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+1=-

1

4

x²+x．

（2）由（1）可知B（4，0），作B關(guān)于y軸的對稱點B′（-4，0），連接AB′交y軸于M，則M即為所求的點，此時△MAB的周長最小，
∴此時△MAB的周長=MA+MB+AB=AB′+AB=

(2+4)2+12

+

(4-2)2+12

=

37

+

5

．

（3）設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，
∴

2k+b=1 -4k+b=0

，解得

k= 1 6 b= 2 3

，
∴直線AB′的解析式為y=

1

6

x+

2

3

，
設(shè)直線y=

1

6

x+

2

3

與拋物線的交點N₁，
∴

y= 1 6 x+ 2 3 y=- 1 4 x2+x

，解得

x= 4 3 y= 8 9

，
∴N₁（

4

3

，

8

9

）；
過M作MG⊥OA于G，
∵直線AB′的解析式為y=

1

6

x+

2

3

，
∴M（0，

2

3

0
∵直線OA的解析式為y=

1

2

x，
∴直線MG的解析式為y=-2x+

2

3

，
∴G（

4

15

，

2

15

），
作M關(guān)于OA的對稱點M′，則G為MM′的中點，
∴M′（

8

15

，-

2

5

），
∴直線AM′的解析式為y=

21

22

x-

10

11

，
此時∠MAO=∠M′AO，
解

y= 21 22 x- 10 11 y= 1 4 x2+x

得

x=- 20 11 y=- 320 121

，
∴直線AM′和拋物線的交點N₂（-

20

11

，-

320

121

），
∴滿足條件的N點在N₁與N₂之間，（原點除外），
∴-

20

11

＜x_N＜

4

3

且x_N≠0．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，軸對稱-最短路線問題，直線和拋物線的交點問題，（3）求得交點坐標(biāo)是本題的難點和關(guān)鍵．