Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣2x2+bx+c過(guò)A（2，0）、C（0，4）兩點(diǎn)．

（1）分別求該拋物線和直線AC的解析式；

（2）橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，△APC的面積為S．

①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）點(diǎn)M是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，ME垂直x軸于E，在y軸（原點(diǎn)除外）上是否存在點(diǎn)F，使△MEF為等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)F，M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+4；y＝﹣2x2+2x+4；（2）①S△APC＝﹣2m2+4m，②m＝1時(shí)，△APC的面積為S有最大值，最大值為2；（3）存在．點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，﹣4）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣4）；點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）. 理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）①過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于點(diǎn)H，則S△APC＝S△PHC+S△PHA，用m的代數(shù)式表示出PH的長(zhǎng)，而OA=2，整理即得結(jié)果；②求由①得到的函數(shù)關(guān)系式的最大值即可；

（3）根據(jù)點(diǎn)M在直線y=－2x+4上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣2a+4），然后分∠EMF＝90°和∠MFE＝90°兩種情況，分別根據(jù)點(diǎn)M到坐標(biāo)軸的距離相等和等腰直角三角形的性質(zhì)列式求解即可.

解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，

∵A（2，0）、C（0，4），

∴，解得：，

∴直線AC的解析式為y＝﹣2x+4；

又∵拋物線y＝﹣2x2+bx+c過(guò)A（2，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4；

（2）①設(shè)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+2m+4），

如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于點(diǎn)H，則H（m，﹣2m+4），

∴PH＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，

∵S△APC＝S△PHC+S△PHA，

∴＝﹣2m2+4m．

②∵0＜m＜2，S＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2，

∴m＝1時(shí)，△APC的面積為S有最大值，最大值為2．

（3）存在．

理由如下：如圖2，∵點(diǎn)M在直線y＝﹣2x+4上，

∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣2a+4），

①∠EMF＝90°時(shí)，∵△MEF是等腰直角三角形，

∴|a|＝|﹣2a+4|，

即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），

解得a＝或a＝4，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），

點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，﹣4）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣4）；

②∠MFE＝90°時(shí)，∵△MEF是等腰直角三角形，

∴|a|＝|﹣2a+4|，

即a＝﹣（﹣2a+4）或a＝

當(dāng)a＝﹣（﹣2a+4）時(shí)，解得a＝1，﹣2a+4＝2×1＝2，

此時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），

當(dāng)a＝ 時(shí)，方程無(wú)解，

綜上所述，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），

點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，﹣4）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，﹣4）；

點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）.