Question

（11分）如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．

（1）求AC、AD的長；

（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）AC=8，AD=5cm；（2）直線PC與⊙O相切，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接BD，在RT△ABC中，由勾股定理可得AC=8，在等腰直角三角形ABD中可得AD=5cm；

（2）觀察圖形可得直線PC與⊙O相切，連接OC，根據(jù)條件證明OC⊥PC，即可.

試題解析：【解析】
（1）①如圖，連接BD，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在RT△ABC中，

AC===8， 3分

②∵CD平分∠ACB，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=AB=×10=5cm； 6分

（2）直線PC與⊙O相切，

理由：連接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，

OC⊥PC，

∴直線PC與⊙O相切． 11分

考點：1.圓周角定理及其推論；2.勾股定理；3.等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；4.切線的判定.