Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形AOB的頂點(diǎn)A、B分別落在坐標(biāo)軸上．O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8）．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)．沿OA向終點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向終點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=3秒時(shí)．直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過O、A、N三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）在此運(yùn)動(dòng)的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MNA是一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

解：（1）N（3，4）。
∵A（6，0）
∴可設(shè)經(jīng)過O、A、N三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x﹣6），則將N（3，4）代入得
4=3a（3﹣6），解得a=﹣。

∴拋物線的解析式：。
（2）存在。過點(diǎn)N作NC⊥OA于C，
由題意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，
∴NC=NA•sin∠BAO=。
∴。
∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6。
（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=，AC=AN•cos∠BAO=t。
∴OC=OA﹣AC=6﹣t�！郚（6﹣t，）。
∴。
又AM=6﹣t且0＜t＜6，
①當(dāng)MN=AN時(shí)，，即t²﹣8t+12=0，解得t₁=2，t₂=6（舍去）。
②當(dāng)MN=MA時(shí)，，即，解得t₁=0（舍去），t₂=。
③當(dāng)AM=AN時(shí)，6﹣t=t，即t=。
綜上所述，當(dāng)t的值取 2或或 時(shí)，△MAN是等腰三角形。

解析