Question

如圖，在每一個四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．

（1）如圖①，點(diǎn)M是四邊形ABCD邊AD上的一點(diǎn)，則△BMC的面積為　24　；

（2）如圖②，點(diǎn)N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點(diǎn)，請你求出△BNC周長的最小值；

（3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此時cos∠BPC的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖①，過A作AE⊥BC，

∴四邊形AECD為矩形，

∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，

在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，

∴AB=2BE=8，AE==4，

則S_△BMC=BC•AE=24；

故答案為：24；

（2）如圖②，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)C′，連接C′N，C′D，C′B交AD于點(diǎn)N′，連接CN′，則BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，

∴△BNC周長的最小值為△BN′C的周長=BN′+CN′+BC=BC′+BC，

∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，

∴過點(diǎn)A作AE⊥BC，則CE=AD=8，

∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，

∴CC′=2CD=2AE=8，

∵BC=12，

∴BC′==4，

∴△BNC周長的最小值為4+12；

（3）如圖③所示，存在點(diǎn)P，使得cos∠BPC的值最小，

作BC的中垂線PQ交BC于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)P，連接BP，CP，作△BPC的外接圓O，圓O與直線PQ交于點(diǎn)N，則PB=PC，圓心O在PN上，

∵AD∥BC，

∴圓O與AD相切于點(diǎn)P，

∵PQ=DC=4＞6，

∴PQ＞BQ，

∴∠BPC＜90°，圓心O在弦BC的上方，

在AD上任取一點(diǎn)P′，連接P′B，P′C，P′B交圓O于點(diǎn)M，連接MC，

∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，

∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，

連接OB，則∠BON=2∠BPN=∠BPC，

∵OB=OP=4﹣OQ，

在Rt△BOQ中，根據(jù)勾股定理得：OQ²+6²=（4﹣OQ）²，

解得：OQ=，

∴OB=，

∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，

則此時cos∠BPC的值為．