Question

【傾聽(tīng)理解】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，兩個(gè)同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件探索函數(shù)問(wèn)題，下面是他們的交流片斷：

【問(wèn)題解決】
（1）填空：圖②中，小蘇發(fā)現(xiàn)的

MN

PN

=

 

；
（2）記圖①、圖②中MN為d₁、d₂，分別求出d₁、d₂與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
【拓廣探索】
（3）如圖③，直線x=m（m＞0）分別交x軸、拋物線y=x²-3x和y=x²-4x于點(diǎn)P、N、M．設(shè)A、B為兩拋物線y=x²-3x、y=x²-4x與x軸的另一交點(diǎn)．當(dāng)m為何值時(shí)，線段OP、PM、PN、MN中有三條能圍成等邊三角形？并直接寫出此時(shí)由A、B、M、N四個(gè)點(diǎn)圍成的四邊形圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把當(dāng)x=m分別代入反比例函數(shù)的解析式，求出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)和N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的長(zhǎng)，則

MN

PN

值可求出；
（2）當(dāng)x=m時(shí)，則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2m，進(jìn)而求出MN的長(zhǎng)，d₁可求，同理可求出d₂；
（3）由函數(shù)的解析式分別求出PM，PN，MN的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等即可求出m的值，利用梯形的性質(zhì)即可求出其面積．

解答：解：（1）當(dāng)x=m時(shí)，
則M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2

m

，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

3

m

，
所以MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
∴

MN

PM

=

1 m

2 m

=

1

2

，
故答案為：

1

2

；
（2）如圖①，易知M（m，3m）、N（m，2m）、P（m，0），
∴PM=3m，PN=2m，故d₁=PM-PN=m．
如圖②，易知M（m，

3

m

）、N（m

2

m

）、P（m，0），
∴PM=

3

m

，PN=

2

m

，
故d₂=PM-PM=

1

m

．
（3）如圖③，據(jù)題設(shè)可得M（m，m²-4m）、N（m，m²-3m）、P（m，0），
∵m＞0，∴OP=m，PM=|m²-4m|=m|m-4|，PN=|m²-3m|=m|m-3|，MN=（m²-3m）-（m²-4m）=m．
因而有，m|m-4|=m或m|m-3|=m，
∴m=5或m=3（不合題意），
或者m=2或m=4（不合題意）．
而又據(jù)題意可得A（3，0）、B（4，0），
∴當(dāng)m=5時(shí)，PA=2，PB=1，PN=10，PM=5，
此時(shí)，S_{四邊形ABMN}=S_△PAN-_S△PBM=

1

2

×10×2-

1

2

×5×1=7.5；
當(dāng)m=2時(shí)，PA=1，PB=2，PN=2，PM=4，
此時(shí)，S_{四邊形ABMN}=S_△PBM-_S△PAN=

1

2

×4×2-

1

2

×2×1=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的各種性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和梯形的面積公式的，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高．