Question

如圖1，直線L：y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線G：y=ax²+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2．
（1）該拋物線G的解析式為

y=x²-4x+3

；
（2）將直線L沿y軸向下平移

9

4

個(gè)單位長(zhǎng)度，能使它與拋物線G只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）若點(diǎn)E在拋物線G的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)F在該拋物線上，且以點(diǎn)A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)E與點(diǎn)F坐標(biāo)并直接寫(xiě)出平行四邊形的周長(zhǎng)．
（4）連接AC，得△ABC．若點(diǎn)Q在x軸上，且以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法列式求解即可得到拋物線G的解析式；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，設(shè)平移后的直線的解析式為y=-x+b，與拋物線的解析式聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)△=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)列式求出b的值，再根據(jù)平移的性質(zhì)解答；
（3）因?yàn)锳B是邊長(zhǎng)還是對(duì)角線不明確，所以分①AB是邊長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等得到EF=AB=2，從而得到點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)的值，從而得到點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；②AB是對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得EF⊥AB時(shí)，滿足條件，從而求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（4）根據(jù)點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)可知，∠PBQ=∠ABC=45°，并求出AB、BC、PB的長(zhǎng)度，然后分①PB與AB是對(duì)應(yīng)邊，②PB與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BQ的長(zhǎng)度，從而點(diǎn)Q的坐標(biāo)可得，③點(diǎn)Q在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135，不存在以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
當(dāng)y=0時(shí)，-x+3=0，解得x=3，
∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B（3，0），C（0，3），
又∵拋物線過(guò)x軸上的A，B兩點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）設(shè)平移后的直線解析式為y=-x+b，
則

y=-x+b y=x2-4x+3

，
∴x²-3x+3-b=0，
∵它與拋物線G只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（3-b）=9-12+4b=0，
解得b=

3

4

，
3-

3

4

=

9

4

，
∴向下平移了

9

4

個(gè)單位；

（3）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
①當(dāng)AB是邊時(shí)，∵點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，
∴EF=AB=2，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為0或4，
當(dāng)橫坐標(biāo)為0時(shí)，y=0²-4×0+3=3，
當(dāng)橫坐標(biāo)為4時(shí)，y=4²-4×4+3=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F₁（0，3）或F₂（4，3），
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（2，3），
此時(shí)AE=

12+32

=

10

，
∴平行四邊形的周長(zhǎng)為：2（AB+AE）=2（2+

10

）=4+2

10

；
②當(dāng)AB邊為對(duì)角線時(shí)，EF與AB互相垂直平分，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此時(shí)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為E₂（2，1），F(xiàn)₃（2，-1），
∴AE=

12+12

=

2

，
AF=

12+12

=

2

，
∴平行四邊形的周長(zhǎng)為：2（AE+AF）=2（

2

+

2

）=4

2

，
綜上所述，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為E₁（2，3），F(xiàn)₁（0，3）或F₂（4，3），此時(shí)平行四邊形的周長(zhǎng)為4+2

10

，
或E₂（2，1），F(xiàn)₃（2，-1），此時(shí)平行四邊形的周長(zhǎng)為4

2

；

（4）連接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=

2

．
由點(diǎn)B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3

2

．
假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
①PB與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

BQ

BC

=

PB

AB

，
即

BQ

3 2

=

2

2

，
解得BQ=3，
又∵BO=3，
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，
∴Q₁的坐標(biāo)是（0，0），
②PB與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

QB

AB

=

PB

BC

，
即

QB

2

=

2

3 2

，
解得QB=

2

3

，
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-

2

3

=

7

3

，
∴Q₂的坐標(biāo)是（

7

3

，0），
③∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上
綜上所述，在x軸上存在兩點(diǎn)Q₁（0，0），Q₂（

7

3

，0），能使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，注意要分情況討論求解．