【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的頂點(diǎn)為P,其圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(﹣m,0),B(1,0),交y軸于點(diǎn)C(0,﹣3am+6a),以下說(shuō)法:
①m=3;
②當(dāng)∠APB=120°時(shí),a= ;
③當(dāng)∠APB=120°時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M(M與P不重合),使得△ABM是頂角為120°的等腰三角形;
④拋物線上存在點(diǎn)N,當(dāng)△ABN為直角三角形時(shí),有a≥
正確的是( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
【答案】D
【解析】解:①∵點(diǎn)A(﹣m,0)、B(1,0)在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴ ,
由①﹣②得
am2﹣bm﹣a﹣b=0,
即(m+1)(am﹣a﹣b)=0.
∵A(﹣m,0)與B(1,0)不重合,
∴﹣m≠1即m+1≠0,
∴m= ,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3a﹣3b),
∵點(diǎn)C在拋物線y=ax2+bx+c上,
∴c=3a﹣3b,
代入②得a+b+3a﹣3b=0,即b=2a,
∴m= =3,故①正確;
②∵m=3,∵A(﹣3,0),
∴拋物線的解析式可設(shè)為y=a(x+3)(x﹣1),
則y=a(x2+2x﹣3)=a(x+1)2﹣4a,
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣4a).
根據(jù)對(duì)稱性可得PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA=30°.
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G,
則有PG⊥x軸,
∴PG=AGtan∠PAG=2× = ,
∴4a= ,
∴a= ,故②正確;
③在第一象限內(nèi)作∠MBA=120°,且滿足BM=BA,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H,如圖1,
在Rt△MHB中,∠MBH=60°,
則有MH=4sin60°=4× =2 ,BH=4cos60°=4× =2,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,2 ),
當(dāng)x=3時(shí),y= (3+3)(3﹣1)=2 ,
∴點(diǎn)M在拋物線上,故③正確;
④∵點(diǎn)N在拋物線上,∴∠ABN≠90°,∠BAN≠90°.
當(dāng)△ABN為直角三角形時(shí),∠ANB=90°,
此時(shí)點(diǎn)N在以AB為直徑的⊙G上,
因而點(diǎn)N在⊙G與拋物線的交點(diǎn)處,
要使點(diǎn)N存在,點(diǎn)P必須在⊙G上或⊙G外,如圖2,
則有PG≥2,即4a≥2,也即a≥ ,故④正確.
故選D.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(﹣2,1)、B(﹣4,﹣2)、C(﹣1,﹣3),把△ABC平移之后得到△A′B′C′,并且C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4,1).
(1)分別寫(xiě)出A′、B′兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)作出△ABC平移之后的圖形△A′B′C′;
(3)求△A′B′C′的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,交BF于C.
(1)尺規(guī)作圖:過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線,交AC于O,交AE于D,(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);
(2)在(1)的圖形中,找出兩條相等的線段,并予以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中,其中∠P=90°,PM交AB于點(diǎn)E,PN交CD于點(diǎn)F
(1)當(dāng)△PMN所放位置如圖①所示時(shí),則∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時(shí),求證:∠PFD﹣∠AEM=90°;
(3)在(2)的條件下,若MN與CD交于點(diǎn)O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線l1、l2相交于點(diǎn)A(2,3),直線l1與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1,0),直線l2與y軸交于點(diǎn)C,已知直線l2的解析式為y=2.5x﹣2,結(jié)合圖象解答下列問(wèn)題:
(1)求直線l1的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2 ,點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( 。
A.5x2﹣4x3=1B.x2y﹣xy2=0
C.﹣3ab﹣2ab=﹣5abD.2m2+3m3=5m5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明一家利用國(guó)慶八天駕車(chē)到某景點(diǎn)旅游,小汽車(chē)出發(fā)前油箱有油35L,行駛?cè)舾尚r(shí)后,途中在加油站加油若干升,油箱中余油量Q(L)與行駛時(shí)間t(h)之間的關(guān)系如圖所示,根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題:
(1)小汽車(chē)行駛______h后加油,中途加油_______L
(2)求加油前油箱余油量Q與行駛時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式
(3)如果小汽車(chē)在行駛過(guò)程中耗油量速度不變,加油站距景點(diǎn)200km,車(chē)速80km/h,要到達(dá)目的地,油箱中的油是否夠用?請(qǐng)說(shuō)明理由
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