Question

如圖，已知y=

1

2

x2+px+q（q≠0）與直線y=x交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA=BO，BC∥x軸．
（1）求p和q的值；
（2）設(shè)D、E是線段AB上異于A、B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)D的右上方），DE=

2

，過(guò)D作y軸的平行線，交拋物線于F．
①設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，△EDF的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
②又過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線，交拋物線于G，試問(wèn)能不能適當(dāng)選擇點(diǎn)D的位置，使四邊形DFGE是平行四邊形？如果能，求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得C（0，q），又由BC∥x軸，且點(diǎn)B在直線y=x上，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由OA=BO知，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式，即可求得p和q的值與此二次函數(shù)的解析式；
（2）①由點(diǎn)D直線x=t和y=x上，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，而點(diǎn)F在直線x=t上，又在拋物線y=

1

2

x²+x-2上，即可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF的延長(zhǎng)線于H，由DE=

2

可知，EH=1，S=

1

2

DF•EH，即可求得答案；
②易知E（t+1，t+1），而點(diǎn)G在直線x=t+1上，又在拋物線y=

1

2

x²+x-2上，即可知點(diǎn)G的坐標(biāo)與EG的長(zhǎng)，若四邊形DFGE是平行四邊形，則EG=DF，即可求得t的值，則可得滿足條件的點(diǎn)D存在，其坐標(biāo)為（-

1

2

，-

1

2

）．

解答：解：（1）由題意得C（0，q），
∵BC∥x軸，且點(diǎn)B在直線y=x上，
由y=

1

2

x²+px+q，可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（q，q），
由OA=BO知，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-q，-q），
∴

1 2 q2+pq+q=q 1 2 (-q)2+p(-q)+q=-q

，
解得：p=1，q=-2，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+x-2；

（2）①∵點(diǎn)D直線x=t和y=x上，
由（1）可知道點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，t），
而點(diǎn)F在直線x=t上，又在拋物線y=

1

2

x²+x-2上，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，

1

2

t²+t-2），
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF的延長(zhǎng)線于H，由DE=

2

可知，EH=1，
DF=t-（

1

2

t²+t-2）=-

1

2

t²+2，
∴S=

1

2

DF•EH=

1

2

（-

1

2

t²+2）×1=-

1

4

t²+1．
解方程組：

y= 1 2 x2+x-2 y=x

，
解得：

x1=2 y1=2

，

x2=-2 y2=-2

∴點(diǎn)A（2，2），B（-2，-2），
∴t的取值范圍為-2＜t＜1，且當(dāng)t=0時(shí)，S有最大值1．
②易知E（t+1，t+1），而點(diǎn)G在直線x=t+1上，又在拋物線y=

1

2

x²+x-2上，
可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（t+1，

1

2

（t+1）²+（t+1）-2），
∴EG=（t+1）-[

1

2

（t+1）²+（t+1）-2]=-

1

2

t²-t-

3

2

，
若四邊形DFGE是平行四邊形，則EG=DF，即-

1

2

t²-t-

3

2

=-

1

2

t²+2，
解得：t=-

1

2

．
∴滿足條件的點(diǎn)D存在，其坐標(biāo)為（-

1

2

，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．