(2002•達(dá)州)已知,如圖,PA切⊙O于點(diǎn)A,割線PD交⊙O于點(diǎn)C、D,∠P=45°,弦AB⊥PD,垂足為E,且BE=2CE,DE=6,CF⊥PC,交DA的延長線于點(diǎn)F.求tan∠CFE的值.
【答案】分析:求tan∠CFE的值就要找垂直關(guān)系,用邊表示出來,轉(zhuǎn)化為求邊長的問題,由已知條件CF⊥PC,可以推出tan∠CFE=,再利用圓的性質(zhì)和切線的性質(zhì)求出CE和FC兩邊的長度即可.
解答:解:由相交弦定理,得AE•BE=DE•CE
又∵BE=2CE
∴AE•2CE=6CE
∴AE=3
∵AB⊥PD
∴∠AEP=90°
又∵∠P=45°
∴∠EAP=∠P=45°
∴PE=AE=3
在Rt△AEP中,由勾股定理,得:
PA===
∵PA切⊙O于點(diǎn)A
∴PA2=PC•PD
∴PC=
∴CE=PE-PC=3-2=1
∵FC⊥PD∴∠FCE=90°
又∵∠AED=90°
∴∠AED=∠FCE
∴AE∥FC
=
∴FC===
∴tan∠CFE===
點(diǎn)評:此題考查知識點(diǎn)較多,有圓的性質(zhì),平行線分線段成比例,相交弦定理,勾股定理及切割線定理,是一道綜合性較強(qiáng)的題,同時也用到轉(zhuǎn)化思想,把求tan∠CFE的問題轉(zhuǎn)化為求邊長的問題.
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