Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判斷BC、MD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)；
（3）若MD恰好經(jīng)過(guò)圓心O，求∠D的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)AE=16，BE=4得出OB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OE的長(zhǎng)，連接OC，根據(jù)勾股定理得出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)圓周角定理可知，∠M=

1

2

∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=

1

2

∠BOD，故可得出∠D的度數(shù)．

解答：解：（1）BC∥MD．
理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，
∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，
∴BC∥MD；

（2）∵AE=16，BE=4，
∴OB=

16+4

2

=10，
∴OE=10-4=6，
連接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=

1

2

CD，
在Rt△OCE中，
∵OE²+CE²=OC²，即6²+CE²=10²，解得CE=8，
∴CD=2CE=16；

（3）如圖2，
∵∠M=

1

2

∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=

1

2

∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=

1

3

×90°=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，熟知“平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”是解答此題的關(guān)鍵．