Question

已知：如圖，在△ABC中，BC=AC=6，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；
（2）求點(diǎn)O到直線DE的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又因?yàn)锽C=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結(jié)論；
（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，即可知OD的長(zhǎng)即為點(diǎn)O到直線DE的距離．

解答：（1）證明：連接CD，
∵BC是圓的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，
即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；

（2）證明：連接OD，
∵AD=BD，OB=OC，
∴DO是△ABC的中位線，
∴DO∥AC，OD=

1

2

AC=

1

2

×6=3，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴點(diǎn)O到直線DE的距離為3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．