Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過點（， ）的直線交軸的正半軸于點， ．

（1）求直線的解析式；（直接寫出結(jié)果）

（2）如圖2，點是軸上一動點，以為圓心， 為半徑作⊙，當(dāng)⊙與相切時，設(shè)切點為，求圓心的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點在軸上，△是以為底邊的等腰三角形，求過點、、三點的拋物線．

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式為；

（2）當(dāng)⊙與相切時，點坐標(biāo)為（， ）或（， ）；

（3）過點、、三點的拋物線為或

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)Rt△AOB的性質(zhì)求出點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)、根據(jù)⊙在直線AB的左側(cè)和右側(cè)兩種情況以及圓的切線的性質(zhì)分別求出AC的長度，從而得出點C的坐標(biāo)；(3)、本題也需要分兩種情況進行討論：⊙在直線的右側(cè)相切時得出點D的坐標(biāo)，根據(jù)等邊△的性質(zhì)得出的坐標(biāo)，從而根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；⊙在直線的左側(cè)相切時，根據(jù)切線的直角三角形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.

試題解析：（1）∵（， ），∴． 在Rt△中， ．

， ． ． ∴（， ）．

設(shè)直線的解析式為．

則 解得 ∴直線的解析式為．

（2）如圖3，①當(dāng)⊙在直線的左側(cè)時， ∵⊙與相切，∴．

在Rt△中， ． ， ， ．

而，∴與重合，即坐標(biāo)為（， ）．

②根據(jù)對稱性，⊙還可能在直線的右側(cè)，與直線相切，此時．

∴坐標(biāo)為（， ）．

綜上，當(dāng)⊙與相切時，點坐標(biāo)為（， ）或（， ）．

（3）如圖4，①⊙ 在直線的右側(cè)相切時，點的坐標(biāo)為（， ）．

此時△為等邊三角形．∴（， ）．

設(shè)過點、、三點的拋物線的解析式為．

則 ∴

②當(dāng)⊙在直線的左側(cè)相切時， （， ）

設(shè)，則， ． 在Rt△中， ．

， 即，

∴（， ）．

設(shè)過點、、三點的拋物線的解析式為．

則， ． ．

綜上，過點、、三點的拋物線為或．