Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，延長CD交圓于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作AE的平行線交圓于點(diǎn)F，連接EF，交AB于H，AC，EF的延長線相較于G
（1）求證：HE²=HF•HG；
（2）HE=4，GF=

7

3

，求FH的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）首先連接CH、CF，由四邊形AEFC是圓內(nèi)接四邊形，過點(diǎn)C作AE的平行線交圓于點(diǎn)F，易證得∠AEF=∠CAE，繼而證得∠2=∠G，即可證得△HCF∽△HGC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得HE²=HF•HG；
（2）由HE²=HF•HG，可得EH²=HF（HF+FG），即可求得答案．

解答：（1）證明：連接CH、CF，
∵四邊形AEFC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠3=∠AEF，
∵CF∥AE，
∴∠3=∠CAE，
∴∠AEF=∠CAE，
∴∠G=180°-2∠CAE，
∵∠2=180°-∠3-∠ACH，∠ACH=∠CAE=∠3，
∴∠2=∠G，
∵∠1=∠1，
∴△HCF∽△HGC，
∴CH：HG=HF：CH，
∴CH²=HF•HG，
∵CH=EH，
∴EH²=HF•HG，

（2）∵EH²=HF•HG，
∴EH²=HF（HF+FG），
∵HE=4，GF=

7

3

，
∴3HF²+7HF-48=0，
∴FH=3．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．