Question

如圖，已知點(diǎn)O是Rt△ABC的直角邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的⊙O交AB于D點(diǎn)，DB垂直平分線交BC于F，交BD于E．
（1）連結(jié)DF，請(qǐng)你判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到OA=2OC時(shí)，恰好有點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，求tan∠B（∠B=30°）．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得FB=FD，則∠B=∠FDB，而∠A=∠ODA，利用∠B+∠A=90°，即可得到∠ODA+∠FDB=90°，可判斷OD⊥DF，于是根據(jù)切線的判斷定理得到DF為⊙O的切線；
（2）先通過(guò)計(jì)算得到

AO

AC

=

AE

AB

，而∠A公共，則可判斷△AOE∽△ACB，所以∠AOE=∠C=90°，則可判斷OD為直角三角形AOE斜邊上的中線，得到OD=AD，于是可證明△AOD為等邊三角形，所以∠A=60°，則∠B=30°，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求解．

解答：解：（1）直線DF與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵DB垂直平分線交BC于F，
∴FB=FD，
∴∠B=∠FDB，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠ODA+∠FDB=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF為⊙O的切線；
（2）連結(jié)OE，如圖，
∵OA=2OC，
∴

AO

AC

=

2

3

，
∵點(diǎn)D是AE的中點(diǎn)，
∴AD=DE，
而DE=DE，
∴

AE

AB

=

2

3

，
∴

AO

AC

=

AE

AB

，
而∠A公共，
∴△AOE∽△ACB，
∴∠AOE=∠C=90°，
∴OD為直角三角形AOE斜邊上的中線，
∴OD=AD，
而OA=OD，
∴△AOD為等邊三角形，
∴∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴tanB=tan30°=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．