Question

【題目】在平面內(nèi)，C為線段AB外的一點(diǎn)，若以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則稱C為線段AB的直角點(diǎn). 特別地，當(dāng)該三角形為等腰直角三角形時，稱C為線段AB的等腰直角點(diǎn)．

（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在點(diǎn)P1，P2，P3中，線段OM的直角點(diǎn)是 ；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，直線l的解析式為．

①如圖2，C是直線l上的一個動點(diǎn)，若C是線段AB的直角點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②如圖3，P是直線l上的一個動點(diǎn)，將所有線段AP的等腰直角點(diǎn)稱為直線l關(guān)于點(diǎn)A的伴隨點(diǎn).若⊙O的半徑為r，且⊙O上恰有兩個點(diǎn)為直線l關(guān)于點(diǎn)A的伴隨點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P1, P3；

（2）①點(diǎn)C的坐標(biāo)為或或或；②

【解析】

根據(jù)直角點(diǎn)的定義判定即可.

（2）① ∠BAC=90°時，可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b）.

因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)已知 ，點(diǎn)C在直線 上,可解得點(diǎn)C的坐標(biāo).

已知點(diǎn)B坐標(biāo)同理可解點(diǎn)C坐標(biāo).

取AB的中點(diǎn)M，作CH⊥AB于點(diǎn)H，連接CM.

求出M坐標(biāo)，算得CM長，在直角三角形CHM中利用勾股定理求得點(diǎn)C坐標(biāo).

② 關(guān)于r的取值范圍根據(jù)圖直接寫出即可.

解：（1）根據(jù)直角點(diǎn)的定義線段OM的直角點(diǎn)為 P1, P3 ；

（2）① 當(dāng)∠BAC=90°時，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b）.

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在直線上,

∴ b=4，，解得a=3.

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

當(dāng)∠ABC=90°時，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b）.

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在直線上,

∴ b=，，解得a=13.

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

當(dāng)∠ACB=90°時如圖，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a, b）.

取AB的中點(diǎn)M，作CH⊥AB于點(diǎn)H，連接CM.

∵ 點(diǎn)C在直線上，

∴ 得. （*）

∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，,

∴ 點(diǎn)M的坐標(biāo)為，CM=5，.

∴ 由勾股定理得方程 . （**）

由（*），（**）得或，故C的坐標(biāo)為或.

綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或或或.

②如圖AP與x軸平行時伴2、伴3共圓，r=

當(dāng)O、A、P三點(diǎn)共線時伴3、伴4共圓r=O伴3=

即

直接寫出r的取值范圍是：