Question

如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A（1，n），B（，-2），請(qǐng)你在x軸上找點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P有________個(gè)，其坐標(biāo)分別是________．

Answer 1

4    （，0），（-，0），（1，0），（2，0）
分析：將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，得出k的值，將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出OA的長(zhǎng)度，分情況討論：①OA=OP，②AO=AP，③PO=PA；分別得到點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
解答：將點(diǎn)B（-，-2），代入反比例函數(shù)，可得：-2=，
解得：k₁=2，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=，
將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=1代入y=，可得y=1，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），
則OA=，
①若OA=OP，如圖①所示：

此時(shí)可得P₁（，0），P₂（-，0）；
②若AO=AP，如圖②所示：

此時(shí)可得P₃（2，0）；
③若PO=PA，如圖③所示：
，
此時(shí)△OAP₄是等腰直角三角形，P₄（1，0）．
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）或（-，0）或（1，0）或（2，0），共4個(gè)．
故答案為：4、（，0），（-，0），（1，0），（2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及等腰三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的綜合運(yùn)用．