Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為

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的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在拋物線y=ax²+ax-2上，
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（0，2）

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（-3，1）

；拋物線的解析式為

y=

1

2

x²+

1

2

x-2

；
（2）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)D是（1）中所求拋物線在第三象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD、CD．當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（4）若點(diǎn)P是（1）中所求拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段AB、BP為鄰邊作平行四邊形ABPQ．當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAC中，已知AC、OC的長(zhǎng)，由勾股定理可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建的全等三角形可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式即可．
（2）由于∠ACB=90°，顯然直線BC與拋物線的另一交點(diǎn)符合點(diǎn)P的要求；另外，過(guò)點(diǎn)A作直線BC的平行線，那么該直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)顯然也符合點(diǎn)P的要求．
（3）已知B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，那么在求△BCD的面積時(shí)，可以B、C的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值作為△BCD的一個(gè)高，過(guò)D作x軸的垂線交直線BC于M，那么可將DM當(dāng)作此時(shí)△BCD的底，可據(jù)此求出關(guān)于△BCD的面積的函數(shù)關(guān)系式，再由所得函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解．
（4）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，取BQ的中點(diǎn)，若AB、BP為平行四邊形的鄰邊，那么根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性可知：A、P關(guān)于BQ的中點(diǎn)對(duì)稱，先表示出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在Rt△OAC中，AC=

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，OC=1，∴OA=

AC2-OC2

=2，即 A（0，2）；
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，可得：△BEC≌△COA，
∴BE=OC=1，CE=OA=2，OE=CE+OC=3，即 B（-3，1）；
將點(diǎn)B（-3，1）代入y=ax²+ax-2中，得：
9a-3a-2=1，a=

1

2

∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
故答案：A（0，2），B（-3，1），y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（2）存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使三角形ACP是以AC為直角邊的直角三角形
理由如下：
分情況討論：
①延長(zhǎng)BC交拋物線于點(diǎn)P，連接AP₁
因?yàn)椤螦CB=90°，∴∠ACP=90°
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
將B（-3，1），C（-1，0）代入上式得

k=- 1 2 b=- 1 2

，所以 y=-

1

2

x-

1

2

；
聯(lián)立方程組

y= 1 2 x2+ 1 2 x-2 y= 1 2 x- 1 2

，解得

x1=1 y1=-1

，

x2=-3 y2=1

（不符合題意舍去）
所以：P₁（1，-1）；
②過(guò)點(diǎn)A作AP₂∥BC，交拋物線于點(diǎn)P₂，P₃
設(shè)直線AP₂的解析式為y=-

1

2

x+b，將A（0，2）代入得b₁=2
所以：y=-

1

2

x+2
聯(lián)立方程組

y= 1 2 x2+ 1 2 x-2 y=- 1 2 x+2

，解得：

x1=2 y1=1

，

x2=-4 y2=4

所以：P₂（2，1），P₃（-4，4）；
綜上所述：存在點(diǎn)P₁（1，-1），P₂（2，1），P₃（-4，4）（點(diǎn)B除外），使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．

（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，

1

2

m²+

1

2

m-2），過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸交直線BC于點(diǎn)M
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-

1

2

m-

1

2

），MD=-

1

2

m²-m+

3

2

；
再設(shè)三角形BCD的面積為S．
S=

1

2

×MD×（x_C-x_B）=

1

2

（-

1

2

m²-m+

3

2

）×2=-

1

2

（m+1）²+2；
因?yàn)镾是m的二次函數(shù)，且拋物線開口向下，函數(shù)有最大值
即當(dāng)m=-1時(shí)S有最大值2
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-2）．

（4）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)（x，0），取BQ的中點(diǎn)（

x-3

2

，

1

2

）；
由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)（

x-3

2

，

1

2

）；
已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)必為

1

2

×2-2=-1；將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式中，得：
-1=

1

2

x²+

1

2

x-2，解得：x=1或-2；
∴點(diǎn)P（1，-1）或（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：該題涉及的內(nèi)容較多，難度也較大，主要考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、特殊幾何圖形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等．在解題時(shí)，一定要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用，通過(guò)部分輔助線往往可以題目變的簡(jiǎn)潔、明了．