Question

【題目】如圖1，已知拋物線L：y=ax2+bx﹣1.5(a＞0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B，頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸為直線l：x=1.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)及一元二次方程ax2+bx﹣1.5=0的解．

（2）求拋物線L的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將拋物線L平移．使它的頂點(diǎn)移至點(diǎn)P，得到新拋物線L′，L′與直線l相交于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m

①當(dāng)m=5時(shí)，PM與PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

②當(dāng)m為大于1的任意實(shí)數(shù)時(shí)，①中的關(guān)系式還成立嗎？為什么？

③是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PMN為等邊三角形？若存在．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）x1=﹣1，x2=3；（2）y=0.5x2﹣x﹣1.5，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣2）；（3）①PM=PN；理由見(jiàn)解析；②PM=PN仍然成立．理由見(jiàn)解析；③點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．

【解析】

（1）由y=ax2+bx-1.5（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線l：x=1，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可得A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的值即為一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解；

（2）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-1.5，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，得到拋物線L的解析式，再利用配方法化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）作PC⊥l于點(diǎn)C．

①根據(jù)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)及（2）中所求解析式，當(dāng)m=5時(shí)，把x=5代入y=（x-1）2-2，求出y=6，得到P點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)P為新拋物線L′的頂點(diǎn)及解析式平移的規(guī)律得出L′的解析式，再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算得出CM=CN，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出PM=PN；

②根據(jù)點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)及（2）中所求解析式，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2-m-1.5），從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)P為新拋物線L′的頂點(diǎn)及解析式平移的規(guī)律得出L′的解析式為y=（x-m）2+m2-m-1.5，再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算得出CM=CN，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出PM=PN；

③當(dāng)△PMN為等邊三角形時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PC平分∠MPN，即∠CPN=30°，利用正切函數(shù)定義得出=tan30°，即m2-m+1.5=（m-1），解方程求出m的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）如圖1，

∵y=ax2+bx-1.5（a＞0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線l：x=1，

∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線l：x=1對(duì)稱，

∴點(diǎn)B（3，0），

∴一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解為x1=-1，x2=3；

（2）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-1.5，

得，

解得，

拋物線L的解析式為y=x2-x-1.5，

配方得，y=（x-1）2-2，

所以頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2）；

（3）如圖2，作PC⊥l于點(diǎn)C．

①∵y=（x-1）2-2，

∴當(dāng)m=5，即x=5時(shí)，y=6，

∴P（5，6），

∴此時(shí)L′的解析式為y=（x-5）2+6，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，6）．

∵當(dāng)x=1時(shí)，y=14，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（1，14）．

∵CM=6-（-2）=8，CN=14-6=8，

∴CM=CN．

∵PC垂直平分線段MN，

∴PM=PN；

②PM=PN仍然成立．

由題意有點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2-m-1.5）．

∵L′的解析式為y=（x-m）2+m2-m-1.5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，m2-m-1.5），

∴CM=m2-m-1.5+2=m2-m+．

∵在L′的解析式y=（x-m）2+m2-m-1.5中，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=m2-2m-1，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（1，m2-2m-1），

∴CN=（m2-2m-1）-（m2-m-1.5）=m2-m+，

∴CM=CN．

∵PC垂直平分線段MN，

∴PM=PN；

③存在這樣的點(diǎn)P，使△PMN為等邊三角形．

若=tan30°，則m2-m+=（m-1），

解得m=，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-）．