Question

若拋物線y=x²-（2m+4）+m²-10與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）．頂點(diǎn)為C．
（1）求m的范圍；
（2）若AB=2

2

，求拋物線的解析式；
（3）若△ABC為等邊三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可以得到相應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，利用根的判別式得到有關(guān)m的不等式即可求得m的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出線段AB的長(zhǎng)，從而得到有關(guān)m的方程，求得m的值即可確定拋物線的解析式；
（3）用m表示出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到有關(guān)m的方程求得m的值即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-（2m+4）+m²-10與x軸軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴方程x²-（2m+4）+m²-10=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴△＞0，
即：（2m+4）²-4（m²-10）＞0，
∴m的范圍為m＞-

7

2

；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²-10，
又∵AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2m+4)2-4(m2-10)

=

16m+56

，
∴

16m+56

=2

2

，
解得：m=-3．
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-1；

（3）拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+2，-4m-4），AB=

16m+56

，
若△ABC為等邊三角形，則|-4m-14|=

1

2

×

16m+56

×tan60°，
解得：m=-

11

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是二次函數(shù)與一元二次方程的結(jié)合更是中考的重點(diǎn)和難點(diǎn)．