Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，BD是AC上的高線．作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BD的延長線于點(diǎn)E．取BE的中點(diǎn)M，連結(jié)AM．
（1）求證：△AEM是等邊三角形；
（2）若AE=1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）利用條件可求得∠E=60°且利用直角三角形的性質(zhì)可得出ME=AM，可判定△AEM的形狀；
（2）由條件利用勾股定理可求得AB和BD的長，可求出△ABC的面積．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高線，
∴∠ABD=30°，
∴∠E=60°，
∵點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，
∵AM=

1

2

BE=EM，
∴△AEM是等邊三角形；
（2）∵AE=1，∠EAB=90°，
∴BE=2AE=2，
由勾股定理得：AB=

BE2-AE2

=

22-11

=

3

，
∴AD=

3

2

，
∴BD=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×

3

×

3

2

=

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．