Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜2.5），解答下列問題：

（1）①BQ＝　 　，BP＝　 　；（用含t的代數(shù)式表示）

②設(shè)△PBQ的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使△PBQ的面積為△ABC面積的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，請說明理由；

（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使△BPQ為等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①5﹣2t，t②y=﹣t2+t（2）不存在某一時刻t，使△PBQ的面積為△ABC面積的二分之一（3）t為秒或秒或秒時，△BPQ為等腰三角形

【解析】

（1）①先利用勾股定理求出AB，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)Q作QD⊥BC于D，進(jìn)而得出△BDQ∽△BCA，用t表示出DQ，最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

（2）先求出△ABC的面積，再利用△PBQ的面積為△ABC面積的二分之一，建立關(guān)于t的方程，進(jìn)而判斷出此方程無解，即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，得出比例式建立關(guān)于t的方程求解，即可得出結(jié)論．

（1）①在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，

根據(jù)勾股定理得，AB＝5cm，

由運(yùn)動知，BP＝t，AQ＝2t，

∴BQ＝AB﹣AQ＝5﹣2t，

故答案為：5﹣2t，t；

②如圖1，過點(diǎn)Q作QD⊥BC于D，

∴∠BDQ＝∠C＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△BDQ∽△BCA，

∴，

∴，

∴DQ＝（5﹣2t）

∴y＝S△PBQ＝BPDQ＝×t× （5﹣2t）＝﹣t2+t；

（2）不存在，

理由：∵AC＝3，BC＝4，

∴S△ABC＝×3×4＝6，

由（1）知，S△PBQ＝﹣t2+t，

∵△PBQ的面積為△ABC面積的二分之一，

∴﹣t2+t＝3，

∴2t2﹣5t+10＝0，

∵△＝25﹣4×2×10＜0，

∴此方程無解，

即：不存在某一時刻t，使△PBQ的面積為△ABC面積的二分之一；

（3）由（1）知，AQ＝2t，BQ＝5﹣2t，BP＝t，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴①當(dāng)BP＝BQ時，

∴t＝5﹣2t，

∴t＝ ，

②當(dāng)BP＝PQ時，如圖2過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，

∴BE＝BQ＝（5﹣2t），

∵∠BEP＝90°＝∠C，∠B＝∠B，

∴△BEP∽△BCA，

∴，

∴ ，

∴t＝

③當(dāng)BQ＝PQ時，如圖3，過點(diǎn)Q作QF⊥BC于F，

∴BF＝BP＝t，

∵∠BFQ＝90°＝∠C，∠B＝∠B，

∴△BFQ∽△BCA，

∴，

∴，

∴t＝，

即：t為秒或秒或秒時，△BPQ為等腰三角形．