Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8）．

（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；

（2）設直線CD交x軸于點E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得點P到直線CD的距離等于點P到原點O的距離？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）由拋物線過A、B、C三點可求出拋物線表達式；

（2）假設存在，設出P點，解出直線CD的解析式，根據(jù)點P到CD的距離等于PO可解出P點坐標；

（3）應分兩種情況：拋物線向上或下平移，設出解析式，代入點求出平移的單位長度．

【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4）．

把C（0，8）代入，得a=﹣1．

∴y=﹣x²+2x+8=﹣（x﹣1）²+9，

頂點D（1，9）；

 

（2）假設滿足條件的點P存在．依題意設P（2，t）．

由C（0，8），D（1，9）求得直線CD的解析式為y=x+8，

它與x軸的夾角為45°．

設OB的中垂線交CD于H，則H（2，10）．

則PH=|10﹣t|，點P到CD的距離為．

又．

∴．

平方并整理得：t²+20t﹣92=0，解之得t=﹣10±8．

∴存在滿足條件的點P，P的坐標為（2，﹣10±8）．

 

（3）由上求得E（﹣8，0），F(xiàn)（4，12）．

①若拋物線向上平移，可設解析式為y=﹣x²+2x+8+m（m＞0）．

當x=﹣8時，y=﹣72+m．

當x=4時，y=m．

∴﹣72+m≤0或m≤12．

∴0＜m≤72．

②若拋物線向下平移，可設解析式為y=﹣x²+2x+8﹣m（m＞0）．

由，

有﹣x²+x﹣m=0．

∴△=1﹣4m≥0，

∴m≤．

∴向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移個單位長．

【點評】此題考查待定系數(shù)求拋物線解析式，第二問考查垂直平分線性質，利用距離相等解題，最后一問考拋物線的平移，要注意已知條件和技巧．