Question

直線y=-2x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上是否存在點C，使△ABC的面積最小？若存在，請求出C點坐標(biāo)及最小面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：平移直線于反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象交于一個交點是的交點即為C點，此時△ABC的面積最小，根據(jù)b²-4ac=0，即可求得平移后的直線的解析式，聯(lián)立方程，解方程即可求得C點，根據(jù)點到直線的距離公式求得距離即可求得最小面積；

解答：解：存在；
設(shè)直線AB向上平移后的解析式為y=-2x+b，當(dāng)直線y=-2x+b與比例函數(shù)y=

2

x

有且一個交點時，此交點即為C點，此時△ABC的面積最小，
解

y=-2x+b y= 2 x

，得2x²-bx+2=0，
∵b²-4×2×2=0，
∴b=4，
∴平移后的解析式為y=-2x+4，
解

y=-2x+4 y= 2 x

得

x=1 y=2

，
∴C的坐標(biāo)為（1，2），
∵直線y=-2x+2，
∴直線方程2x+y-2=0，
∴C點到直線y=-2x+2的距離d=

1×2+2×1-2

22+12

=

2

5

，
∵直線y=-2x+2，
∴A（0，2），B（1，0），
∴AB=

22+12

=

5

，
∴S=

1

2

×

5

×

2

5

=1；
∴△ABC的最小面積=1；

點評：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點，待定系數(shù)法的求法，三角形的面積等，求得C點是解題的關(guān)鍵．