Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）

Answer 1

考點：反證法

專題：證明題

分析：運用反證法進行求解：
（1）假設結論PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．
（2）從假設出發(fā)推出與已知相矛盾．
（3）得到假設不成立，則結論成立．

解答：證明：①假設PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中

AB=AC ∠ABP=∠ACP BP=CP

∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．這與題目中給定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．
②假設PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC-∠PBC＞∠ACB-∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°-∠ABP-∠APB＜180°-∠ACP-∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，結合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．這與假設的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
綜上所述，得：PB＜PC．

點評：此題主要考查了反證法的應用，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．