Question

如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，連接AC，△AB′C和△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱，AD和B′C相交于點O，連接BB′．
（1）求證：△ABC≌△CDA．
（2）請直接寫出圖中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（3）圖中陰影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等請給出證明；若不全等，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA）；

（2）圖中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵△AB′C和△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱，
∴△AB′C≌△ABC，
∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′為等腰三角形，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴OA=OC，即△OAC為等腰三角形，
∵CB=CB′，
∴△CBB′為等腰三角形；

（3）△AB′O≌△CDO，理由為：
證明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，
∴△AB′C≌△CDA，
∴B′C=DA，AB′=CD，
又OA=OC，
∴DA-OA=B′C-OC，即OB′=OD，
在△AB′O和△CDO中，
，
∴△AB′O≌△CDO．
分析：（1）由AB與CD平行，AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到兩對角相等，再由公共邊AC，利用ASA即可得到△ABC與△CDA全等，得證；
（2）△AOC和△ABB′都為等腰三角形，理由為：由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由△AB′C和△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱，得到兩三角形全等，由全等三角形的對應角相等得到一對角相等，等量代換得到∠ACB=∠ACB′，利用等角對等邊得到OA=OC，即△AOC為等腰三角形；由全等三角形的對應邊相等得到AB=AB′，即△ABB′為等腰三角形；
（3）△AB′O和△CDO全等，理由為：由△AB′C全等于△ABC，且△ABC全等于△CDA，得到△AB′C全等于△CDA，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到兩對邊相等，利用等量代換及等式的性質(zhì)，得到△AB′O和△CDO三對邊相等，利用SSS可得出兩三角形全等，得證．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及軸對稱性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．