Question

（2013年浙江義烏4分）如圖，直線(xiàn)l₁⊥x軸于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B是直線(xiàn)l₁上的動(dòng)點(diǎn)．直線(xiàn)l₂：y=x+1交l₁于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l₃垂直于l₂，垂足為D，過(guò)點(diǎn)O，B的直線(xiàn)l₄交l ₂于點(diǎn)E．當(dāng)直線(xiàn)l₁，l₂，l₃能?chē)�成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S₁，當(dāng)直線(xiàn)l₂，l₃，l₄能?chē)�成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S₂．

（1）若點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上，且S₁=S₂，則B點(diǎn)坐標(biāo)為      ；

（2）若點(diǎn)B在直線(xiàn)l₁上，且S₂=S₁，則∠BOA的度數(shù)為      ．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，0）；（2）15°或75°。

【解析】（1）設(shè)B的坐標(biāo)是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形。

∵，∴。

∴。

設(shè)直線(xiàn)l₄的解析式是y=kx，則2k=m，解得：。        

∴直線(xiàn)l₄的解析式是。

根據(jù)題意得：，解得：。

∴E的坐標(biāo)是（，）。

∴。

∴。

當(dāng)S₁=S₂時(shí)，。

解得：m=0，m=4（不在線(xiàn)段AC上，舍去），m=3（l₂和l₄重合，舍去）。

∴B的坐標(biāo)是（2，0）。

（2）分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上時(shí)（如圖1），

由S₂=S ₁得：。

解得：或（不在線(xiàn)段AC上，舍去），或m=3（l₂和l₄重合，舍去）。

∴AB=。

在OA上取點(diǎn)F，使OF=BF，連接BF，設(shè)OF=BF=x，

則AF=2－x，根據(jù)勾股定理，得，解得。

∴sin∠BFA=。∴∠BFA=30°。∴∠BOA=15°。

②當(dāng)點(diǎn)B在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖2），

此時(shí)，,

由S₂=S ₁得：。

解得：或（不在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上，舍去），或m=3（l₂和l₄重合，舍去）。

∴AB=。

在AB上取點(diǎn)G，使BG=OG，連接OG，設(shè)BG=OG=x，

則AG=，根據(jù)勾股定理，得，解得

∴sin∠OGA=�！唷螼GA =30°�！唷螼BA=15°。∴∠BOA=75°。

③當(dāng)點(diǎn)B在CA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖3），

此時(shí)，,

由S₂=S ₁得：。

解得： m=3（l₂和l₄重合，舍去）。

∴此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B不存在。

綜上所述，∠BOA的度數(shù)為15°或75°。

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題，單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，分類(lèi)的應(yīng)用。