Question

如圖（1），已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點 O，它的頂點坐標為（5，

25

4

），在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點C、．D落在拋物線上，頂點A，B落在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若AB=6，求AD的長；
（3）設矩形ABCD的周長為L，求L的最大值．
（4）如圖（2），若直線y=x交拋物線的對稱軸于點N，P為直線y=X上一個動點，過點P作X軸的垂線交拋物線于點Q．問在直線y=x上是否存在點P，使得以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圖象上頂點坐標以及原點，由頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出D點橫坐標x=2，求出D點縱坐標即可得出AD的長；
（3）首先表示出矩形周長，再利用二次函數(shù)最值公式求出；
（4）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN=AB=AO，以及P在y=x的圖象上，即可得出P點的坐標．

解答：解：（1）根據(jù)坐標系可知此函數(shù)頂點坐標為（5，

25

4

），且圖象過（0，0）點，
代入頂點式得：
y=a（x-5）²+

25

4

，
將（0，0）代入解析式得：
∴0=a（0-5）²+

25

4

，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+

25

4

；

（2）∵此函數(shù)頂點坐標為（5，

25

4

），且圖象過（0，0）點，
∴圖象與x軸另一交點為：（10，0），
當AB=6時，
∴AO=（10-6）÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
∴AD=4；

（3）假設AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周長為l為：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l(xiāng)的最大值為：

4ac-b 2

4a

=

4×(- 1 2 )×20-1

-2

=20.5．

（4）當以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的圖象上，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q點的縱坐標為5，
∴5=

-m2+10m

4

，
解得：m=5±

5

，
當∠P₃NQ₃=90°時，過點Q₃作Q₃K₁⊥對稱軸，
當△NQ₃K₁為等腰直角三角形時，△NP₃Q₃為等腰直角三角形，
Q點在OM的上方時，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=-

1

4

x2 +

5

2

x-x，
Q₃K₁=5-x，
Q點在OM的下方時，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄=x-（-

1

4

x2 +

5

2

x），
Q₄K₂=x-5，
∴

1

4

x²-

7

2

x+10=0，
解得：x₁=4，x₂=10，
P₃（4，4），P₄（10，10）
∴使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，P點的坐標為：
（5-

5

，5-

5

）或（5+

5

，5+

5

）或（4，4）或（10，10）．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象獲取正確點的坐標以及利用y=x圖象上點的性質(zhì)是解決問題的關鍵．