Question

如圖，拋物線y=

1

2

（x-3）²-1與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求點A，B，D的坐標；
（2）連接CD，過原點O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點E，連接AE，AD，求證：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的點E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點P，過點P作⊙E的切線，切點為Q，當PQ的長最小時，求點P的坐標，并直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，求出點A、B、D的坐標；
（2）如何證明∠AEO=∠ADC？如答圖1所示，我們觀察到在△EFH與△ADF中：∠EHF=90°，有一對對頂角相等；因此只需證明∠EAD=90°即可，即△ADE為直角三角形，由此我們聯(lián)想到勾股定理的逆定理．分別求出△ADE三邊的長度，再利用勾股定理的逆定理證明它是直角三角形，由此問題解決；
（3）依題意畫出圖形，如答圖2所示．由⊙E的半徑為1，根據(jù)切線性質(zhì)及勾股定理，得PQ²=EP²-1，要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP²最�。�利用二次函數(shù)性質(zhì)求出EP²最小時點P的坐標，并進而求出點Q的坐標．

解答：（1）解：頂點D的坐標為（3，-1）．
令y=0，得

1

2

（x-3）²-1=0，
解得：x₁=3+

2

，x₂=3-

2

，
∵點A在點B的左側(cè)，
∴A（3-

2

，0），B（3+

2

，0）．

（2）證明：如答圖1，過頂點D作DG⊥y軸于點G，則G（0，-1），GD=3．

令x=0，得y=

7

2

，
∴C（0，

7

2

）．
∴CG=OC+OG=

7

2

+1=

9

2

，
∴tan∠DCG=

2

3

．
設對稱軸交x軸于點M，則OM=3，DM=1，AM=3-（3-

2

）=

2

．
由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．
∴tan∠EOM=tan∠DCG=

EM

OM

=

2

3

，
解得EM=2，
∴DE=EM+DM=3．
在Rt△AEM中，AM=

2

，EM=2，由勾股定理得：AE=

6

；
在Rt△ADM中，AM=

2

，DM=1，由勾股定理得：AD=

3

．
∵AE²+AD²=6+3=9=DE²，
∴△ADE為直角三角形，∠EAD=90°．
設AE交CD于點F，
∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（對頂角相等），
∴∠AEO=∠ADC．

（3）解：依題意畫出圖形，如答圖2所示：

由⊙E的半徑為1，根據(jù)切線性質(zhì)及勾股定理，得PQ²=EP²-1，
要使切線長PQ最小，只需EP長最小，即EP²最小．
設點P坐標為（x，y），由勾股定理得：EP²=（x-3）²+（y-2）²．
∵y=

1

2

（x-3）²-1，
∴（x-3）²=2y+2．
∴EP²=2y+2+（y-2）²=（y-1）²+5
當y=1時，EP²有最小值，最小值為5．
將y=1代入y=

1

2

（x-3）²-1，得

1

2

（x-3）²-1=1，
解得：x₁=1，x₂=5．
又∵點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，
∴x₁=1舍去．
∴P（5，1）．
∵△EQ₂P₃為直角三角形，
∴過點Q₂作x軸的平行線，再分別過點E，P向其作垂線，垂足分別為M點和N點．
由切割線定理得到Q₂P=Q₁P=2，EQ₂=1
設點Q₂的坐標為（m，n）
則在Rt△MQ₂E和Rt△Q₂NP中建立勾股方程，即（m-3）²+（n-2）²=1①，（5-m）²+（n-1）²=4②
①-②得n=2m-5③
將③代入到①得到
m₁=3（舍，為Q1）
m₂=

19

5

再將m=

19

5

代入③得n=

13

5

，
∴Q₂（

19

5

，

13

5

）
此時點Q坐標為（3，1）或（

19

5

，

13

5

）．

點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，涉及考點眾多，難度較大．第（2）問中，注意觀察圖形，將問題轉(zhuǎn)化為證明△ADE為直角三角形的問題，綜合運用勾股定理及其逆定理、三角函數(shù)（或相似形）求解；第（3）問中，解題關鍵是將最值問題轉(zhuǎn)化為求EP²最小值的問題，注意解答中求EP²最小值的具體方法．