Question

矩形ABCO的頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E（4，n）在AB上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，且tan∠BOA=

1

2

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；
（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交與點(diǎn)F．求證：△BEF∽△ABO．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)E（4，n）在AB上，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，又由tan∠BOA=

1

2

，即可求得AB的長(zhǎng)，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，又由點(diǎn)E（4，n）在AB上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，則可求得n的值；
（3）首先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可求得BE，BF的長(zhǎng)，繼而可得

BF

OA

=

BE

AB

=

3

4

，∠EBF=∠BAO=90°，則可證得：△BEF∽△ABO．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)E（4，n）在AB上，
∴點(diǎn)A（4，0），
∴OA=4，
∵tan∠BOA=

1

2

，
∴AB=

1

2

OA=2，
∴點(diǎn)B（4，2）；

（2）∵點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D（2，1），
∴1=

k

2

，
解得：k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

2

x

；
∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，
∴n=

2

4

=

1

2

；

（3）∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交與點(diǎn)F，
∴F的縱坐標(biāo)為：2，
∴2=

2

x

，
解得：x=1，
∴點(diǎn)F（1，2），
∴BE=2-

1

2

=

3

2

，BF=4-1=3，
∵OA=4，AB=2，
∴

BF

OA

=

BE

AB

=

3

4

，
∵∠EBF=∠BAO=90°，
∴△BEF∽△ABO．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．