Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=x2+2mx+2n，交x軸于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))

（1）當(dāng)m=3時(shí)，n=4時(shí)， ①求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；②將拋物線向右平移k個(gè)單位后交x軸于M、N（M在N的左側(cè)），若B、M三等分AN，直接寫出k的值；

（2）當(dāng)m=1時(shí)，若線段AB上有且只有5個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，求n的取值范圍；

（3）記A(x1,0)、B(x2,0)，當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x1、x2能否是有理數(shù)？若能，請舉例驗(yàn)證，若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)① (-4,0)；(-2,0)；② 1 ； (2)-4＜n＜；(3)見解析

【解析】

(1)①當(dāng)m=3時(shí)，n=4時(shí)，二次函數(shù)解析式為y=x2+6x+8，令y=0，解方程即可解決問題．

②根據(jù)條件求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可解決問題．

(2)由題意可知，x=1時(shí)，y＜0；x=2時(shí)，y＞0；列出不等式即可解決問題．

(3)當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x1、x2不可能是有理數(shù)．用反證法證明即可．

解：（1）當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝x2+6x+8，

①令y＝0得到x2+6x+8＝0，解得x＝﹣2或﹣4，∴A（﹣4，0），B（﹣2，0）．

故答案為：A(-4,0),B(-2,0).

②∵拋物線向右平移k個(gè)單位后交x軸于M、N（M在N的左側(cè)），

B、M三等分AN，AB＝2，

∴AM＝BM＝1，

∴M（﹣3，0），即k＝1．

故答案為：k=1.

（2）∵m＝1時(shí)，拋物線的對稱軸x＝﹣1，

∴線段AB上有且只有5個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，這些整數(shù)為﹣3，﹣2，﹣1，0，1，

∴x＝1時(shí)，y＜0；x＝2時(shí)，y＞0；

∴，解得：-4＜n＜．

故答案為：-4＜n＜．

（3）當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x1、x2不可能是有理數(shù)．

理由：假設(shè)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x1、x2是有理數(shù)，

∵x1x2＝2n，

∴x1，x2中肯定一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，

∴x1+x2一定是奇數(shù)，由題意x1+x2=-2m是偶數(shù)，與假設(shè)矛盾，

∴假設(shè)不成立，

∴當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x1、x2不可能是有理數(shù)．

故答案為：當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí)，x1、x2不可能是有理數(shù)．