【題目】在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中點,一塊足夠大的三角板的直角頂點與點E重合,將三角板繞點E旋轉,三角板的兩直角邊分別交AB,BC(或它們的延長線)于點M,N.

(1)觀察圖1,直接寫出∠AEM與∠BNE的關系是;(不用證明)
(2)如圖1,當M、N都分別在AB、BC上時,可探究出BN與AM的關系為:;(不用證明)
(3)如圖2,當M、N都分別在AB、BC的延長線上時,(2)中BN與AM的關系式是否仍然成立?若成立,請說明理由:若不成立,寫出你認為成立的結論,并說明理由.

【答案】
(1)∠AEM+∠BNE=90°
(2)BN⊥AM,BN﹣AM=2
(3)

解:當M、N都分別在AB、BC的延長線上時,(2)中BN與AM的關系式仍然成立.

證明:如圖2,

∵四邊形ABCD為矩形,

∴BN⊥AM,

過E作EF⊥BC于F

∵矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中點,

∴AE=EF=AB=BF=2,

∵∠AEM+∠MEF=90°,∠NEF+∠MEF=90°,

∴∠AEM=∠FEN,

,

∴Rt△AEM≌Rt△FEN,

∴AM=FN,

∴BN﹣AM=BN﹣FN=BF=2.


【解析】解:(1.)∵四邊形ABCD為矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DEN=∠BNE,
∵∠MEN=90°,
∴∠AEM+∠DEN=90°,
∴∠AEM+∠BNE=90°,
故答案為:∠AEM+∠BNE=90°;
(2.)BN⊥AM,BN﹣AM=2;
證明:如圖1,∵四邊形ABCD為矩形,
∴BN⊥AM,
過E作EF⊥BC于F,

∵矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中點
∴AE=EF=AB=BF=2,
∵∠AEM+∠MEF=90°,∠NEF+∠MEF=90°,
∴∠AEM=∠NEF,
,
∴Rt△AEM≌Rt△FEN,
∴AM=FN,
∴BN﹣AM=BN﹣FN=BF=2;
故答案為:BN⊥AM,BN﹣AM=2;
(1)由矩形的性質可得AD∥BC,由平行線的性質定理可得∠DEN=∠BNE,由∠MEN=90°,易得∠AEM+∠DEN=90°,可得∠AEM+∠BNE=90°;(2)由矩形的性質可得BN⊥AM,過E作EF⊥BC于F,由E是AD的中點可得,AD=2AB=4,易得AE=EF,易得Rt△AEM≌Rt△FEN,由全等三角形的性質可得AM=FN,易得BN﹣AM=BN﹣FN=BF=2;(3)同(2)可證得結論.

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