Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E和點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(2)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，若以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△FPA相似，求m的值；

(3)若E、F、P三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外)，稱E、F、P三點(diǎn)為“共諸點(diǎn)”.直接寫出E、F、P三點(diǎn)成為“共諸點(diǎn)”時(shí)m的值.

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+x+2；(2)m＝或；(3) -1或-或.

【解析】

（1）交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可得c＝2，則拋物線表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）①當(dāng)∠EBF為直角時(shí)，則tan∠BEF＝，則BE2＝4BF2，根據(jù)勾股定理列方程求解即可；②當(dāng)∠BEF為直角時(shí)，則EF＝BE，與①同理即可求解；

（3）用m可表示出P、F、E的坐標(biāo)，由題意可知有F為線段PE的中點(diǎn)、P為線段EF的中點(diǎn)或E為線段PF的中點(diǎn)，可分別得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．

解：（1）把x=0代入，得=2.

把y=0代入，得，∴x=4.

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(4，0)、(0，2)，

∴c＝2，

∴拋物線表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+2，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得，

0＝﹣16+4b+2，

∴b＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）tan∠OAB＝＝，

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為：(m，﹣m2+m+2)、(m，﹣m+2)，

①當(dāng)∠EBF為直角時(shí)，

以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△FPA相似，則∠BEF＝∠OAB，

則tan∠BEF＝，則BE2＝4BF2，

即：m2+(﹣m2+m+2m﹣2)2＝4[m2+(﹣m+2﹣2)2]，

解得：m＝或(舍去)；

②當(dāng)∠BEF為直角時(shí)，

則EF＝BE，

∴﹣m2+m+2m﹣2=m，

解得

m1=，m2=0（舍去）.

綜上，m＝或；

（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P、E、F的坐標(biāo)分別為：(m，0)、(m，﹣m2+m+2)、(m，﹣m+2)，

∵E、F、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，

∴有F為線段PE的中點(diǎn)、P為線段FE的中點(diǎn)或E為線段PF的中點(diǎn)，

當(dāng)F為線段PE的中點(diǎn)時(shí)，則有2（-m+2）=-m2+m+2，解得m=4（三點(diǎn)重合，舍去）或m=；

當(dāng)P為線段FE的中點(diǎn)時(shí)，則有-m+2+（-m2+m+2）=0，解得m=4（舍去）或m=-1；

當(dāng)E為線段FP的中點(diǎn)時(shí)，則有-m+2=2（-m2+m+2），解得m=4（舍去）或m=-；

綜上可知當(dāng)E、F、P三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為-1或-或．