Question

已知OA是⊙O的半徑，點(diǎn)C在圓上，B是OA中點(diǎn)，BC⊥OA，P是OA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=AC．求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：首先連接OC，由B是OA中點(diǎn)，BC⊥OA，可得AC=OC，即可證得△OAC是等邊三角形，又由PA=AC，即可證得PC是⊙O的切線．

解答：證明：連接OC，
∵B是OA中點(diǎn)，BC⊥OA，
∴AC=OC，
∵OA=OC，
∴OA=OC=AC，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵PA=AC，
∴∠P=∠ACP，
∵∠P+∠ACP=∠OAC，
∴∠ACP=30°，
∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=90°，
即OC⊥PC，
∵點(diǎn)C在圓上，
∴PC是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．