Question

如圖，拋物線y = ax² + bx + 4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；

（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，△EFK的面積最大？并求出最大面積．

 

Answer 1

（1）由題意，得  解得，b =－1．

所以拋物線的解析式為，頂點D的坐標為（－1，）．

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M．因為EF垂直平分BC，即C關于直線EG的對稱點為B，連結BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH + CH最小，即最小為

DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．

∴ △CDH的周長最小值為CD + DR + CH =．

設直線BD的解析式為y = k₁x + b，則   解得 ，b₁ = 3．

所以直線BD的解析式為y =x + 3．

由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，

得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．

同理可求得直線EF的解析式為y =x +．

聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長最小的點H（，）．

（3）設K（t，），x_F＜t＜x_E．過K作x軸的垂線交EF于N．

則 KN = y_K－y_N =－（t +）=．

所以 S_△EFK = S_△KFN + S_△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t²－3t + 5 =－（t +）² +．

即當t =－時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（－，）．