Question

如圖,已知二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c的圖象的頂點(diǎn)為M（2,1）,且過點(diǎn)N（3,2）．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;
（2）若一次函數(shù)y＝－x－4的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AB于點(diǎn)Q,以PQ為直徑作圓交直線AB于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n,問:當(dāng)n為何值時(shí),線段DQ的長(zhǎng)取得最小值？最小值為多少？

Answer 1

（1）這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝(x－2)²＋1;（2）當(dāng)n＝時(shí),DQ取得最小值,為．

解析試題分析:（1）由于頂點(diǎn)為M（2,1）,故設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝a(x－2)²＋1,又因?yàn)檫^點(diǎn)N（3,2）,代入解析式即可求出a的值,從而得到解析式;
（2）用含有n 得代數(shù)式表示出P,Q坐標(biāo),求出PQ最小值,再證得△DPQ∽△OAB,根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可求得DQ的最小值．
試題解析:（1）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝a(x－2)²＋1．
把x＝3,y＝2代入得a＋1＝2,∴a＝1．
∴這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝(x－2)²＋1．
（2）由題意知P（n,n²－4n＋5）,Q（n,－n－4）．
∴PQ＝n²－4n＋5－(－n－4)＝n²－n＋9＝(n－)²＋． 
∴當(dāng)n＝時(shí),PQ取得最小值,為．
易證△DPQ∽△OAB,
∴,
∵一次函數(shù)y＝－x－4的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴OB=4,OA=3,AB==5
∴DQ＝PQ=．
∴當(dāng)n＝時(shí),DQ取得最小值,為．
考點(diǎn):二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合．