如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為M(2,1),且過點(diǎn)N(3,2).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)若一次函數(shù)y=-x-4的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AB于點(diǎn)Q,以PQ為直徑作圓交直線AB于點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n,問:當(dāng)n為何值時(shí),線段DQ的長(zhǎng)取得最小值?最小值為多少?

(1)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=(x-2)2+1;(2)當(dāng)n=時(shí),DQ取得最小值,為

解析試題分析:(1)由于頂點(diǎn)為M(2,1),故設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x-2)2+1,又因?yàn)檫^點(diǎn)N(3,2),代入解析式即可求出a的值,從而得到解析式;
(2)用含有n 得代數(shù)式表示出P,Q坐標(biāo),求出PQ最小值,再證得△DPQ∽△OAB,根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可求得DQ的最小值.
試題解析:(1)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x-2)2+1.
把x=3,y=2代入得a+1=2,∴a=1.
∴這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=(x-2)2+1.
(2)由題意知P(n,n2-4n+5),Q(n,-n-4).
∴PQ=n2-4n+5-(-n-4)=n2n+9=(n-)2. 
∴當(dāng)n=時(shí),PQ取得最小值,為
易證△DPQ∽△OAB,
,
∵一次函數(shù)y=-x-4的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴OB=4,OA=3,AB==5
∴DQ=PQ=
∴當(dāng)n=時(shí),DQ取得最小值,為
考點(diǎn):二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn), A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),與y軸交于C(,)點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)連結(jié)PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP’C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP’C為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形 ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過點(diǎn),且與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D的坐標(biāo)為,連接CA,CB,CD.

(1)求證:;
(2)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DP交BC于點(diǎn)E.
①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí),直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);
②連接CP,當(dāng)△CDP的面積最大時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)B,其中點(diǎn)B在第一象限,且OA=OB,cot∠BAO=2.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)過點(diǎn)B作直線BC平行于x軸,直線BC與二次函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為C,聯(lián)結(jié)AC,如果點(diǎn)P在x軸上,且△ABC和△PAB相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=x2–kx+k–1(k>2).

(1)求證:拋物線y=x2–kx+k-1(k>2)與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,若,求拋物線的表達(dá)式;
(3)以(2)中的拋物線上一點(diǎn)P(m,n)為圓心,1為半徑作圓,直接寫出:當(dāng)m取何值時(shí),x軸與相離、相切、相交.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí),月銷售量為45噸.該建材店為提高經(jīng)營利潤,準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí),月銷售量就會(huì)增加7. 5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價(jià)為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤為y(元).
(1)當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí),計(jì)算此時(shí)的月銷售量;
(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)該建材店要獲得最大月利潤,售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元?
(4)小靜說:“當(dāng)月利潤最大時(shí),月銷售額也最大.”你認(rèn)為對(duì)嗎?請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接DP,過點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo):
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AO(點(diǎn)P不與A、O重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí),線段OE的長(zhǎng)有最大值,求出這個(gè)最大值;
(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PED是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

小明利用暑假20天(8月5日至24日)參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營的社會(huì)實(shí)踐.負(fù)責(zé)在網(wǎng)絡(luò)上銷售一種新款的SD卡,每張成本價(jià)為20元.第天銷售的相關(guān)信息如下表所示.

銷售量p(張)

銷售單價(jià)q(元/張)

 
(1)請(qǐng)計(jì)算哪一天SD卡的銷售單價(jià)為35元?
(2)在這20天中,在網(wǎng)絡(luò)上這款銷售SD卡在哪一天獲得利潤最大?這一天賺了多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知二次函數(shù)

(1)證明:不論取何值,該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn);
(2)若該函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)(0,5),求出頂點(diǎn)坐標(biāo),并畫出該函數(shù)圖象.

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