Question

如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B在A的左側(cè))，頂點(diǎn)為C， 點(diǎn)D（1，m）在此二次函數(shù)圖象的對稱軸上，過點(diǎn)D作y軸的垂線，交對稱軸右側(cè)的拋物線于E點(diǎn)．

（1）求此二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，連接BD、．求證：平分；

（3）點(diǎn)G在拋物線的對稱軸上且位于第一象限，若以A、C、G為頂點(diǎn)的三角形與以G、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．

 

Answer 1

 解：（1）∵點(diǎn)D（1，m）在圖象的對稱軸上，

∴．

∴．

∴二次函數(shù)的解析式為．

∴C（1，-4）． 

 

（2）∵D（1，1），且DE垂直于y軸，

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，DE平行于x軸．

∴．

令，則，解得．

∵點(diǎn)E位于對稱軸右側(cè)，

∴E．

∴D E =．

令，則，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）．

∴BD =．

∴BD = D E．

∴ ．

∴ ．

∴平分．

（3）∵以A、C、G為頂點(diǎn)的三角形與以G、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似，

且△GDE為直角三角形，

∴△ACG為直角三角形．     

∵G在拋物線對稱軸上且位于第一象限，

∴．

∵A（3,0）C（1，-4），,

∴求得G點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．

∴AG=，AC=．

∴AC=2 AG.

∴GD=2 DE或 DE =2 GD.

設(shè)（t >1） ，

.當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)G的上方時(shí)，則DE=t -1，

GD = ()=.

i. 如圖2，當(dāng) GD=2 DE時(shí)，

則有， = 2(t-1).

解得，.(舍負(fù))

ii. 如圖3，當(dāng)DE =2GD時(shí)，

則有，t -1=2().

解得，.(舍負(fù))

. 當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)G的下方時(shí)，則DE=t -1，

  GD=1- ()= -.

i. 如圖4，當(dāng) GD=2 DE時(shí)，

則有， =2（t -1）.

解得，.(舍負(fù))  ii. 如圖5，當(dāng)DE =2 GD時(shí)，

則有，t-1=2（）.

解得，.(舍負(fù)) …

綜上，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或.