【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）經(jīng)過A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)M是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使S⊿ABN=S⊿ABC，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】（1）y＝x2－2x－3；(2) M(1,-2)；(3) ，（1，-4）.

【解析】

（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可；

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接BC得出M點(diǎn)位置，即為符合條件的M點(diǎn)；

（3）根據(jù)題意可知OC=3，要使S⊿ABN=S⊿ABC，則三角形ABN的高為4，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±4，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，±4），代入函數(shù)解析式求解即可得出N點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

解得：

故拋物線的解析式：y=x2-2x-3．

（2）如圖所示：連接BC，交直線l于點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)C的距離之和最短，


設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，則

解得：

故直線BC的解析式為：y=x-3，
∵x=-=1，
∴x=1時(shí)，y=1-3=-2，
故M（1，-2）；

（3）存在，理由如下：

點(diǎn)C（0，－3），

∴OC=3，即三角形ABC的高為3

要使S⊿ABN=S⊿ABC，則三角形ABN的高為4，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±4，

設(shè)N為（x，±4）

所以當(dāng)y=4時(shí)，有x2-2x-3=4即x2-2x-7=0，解得

當(dāng)y=-4時(shí)，有x2-2x-3=-4即x2-2x+1=0，解得x=1

所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為，（1，-4）

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是2019年1月份的日歷．任意選擇圖中的菱形框部分，將每個(gè)菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對的兩對數(shù)分別相乘，再相減，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48

（1）請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

（2）小明說：他用一個(gè)如圖所示菱形框，框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120，請判斷他的說法是否正確．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1所示，點(diǎn)E在弦AB所對的優(yōu)弧上，且為半圓，C是上的動點(diǎn)，連接CA、CB，已知AB＝4cm，設(shè)B、C間的距離為xcm，點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離為y1cm，A、C兩點(diǎn)間的距離為y2cm．

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對函數(shù)y1、y2歲自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整．

（1）按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得到了y1、y2與x的幾組對應(yīng)值：

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y1/cm

0

0.78

1.76

2.85

3.98

4.95

4.47

y2/cm

4

4.69

5.26

5.96

5.94

4.47

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)（x，y1），（x，y2），并畫出函數(shù)y1、y2的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：

①連接BE，則BE的長約為　 　cm．

②當(dāng)以A、B、C為頂點(diǎn)組成的三角形是直角三角形時(shí)，BC的長度約為　 　cm．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C，M為此拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式；

（2）動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時(shí)終止運(yùn)動，直線l與BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)．

①直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長為　 　；

②點(diǎn)D與B、C不重合時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接PE、PF、EF，在旋轉(zhuǎn)過程中，求EF的最小值；

（3）將拋物線C1平移得到拋物線C2，已知拋物線C2的頂點(diǎn)為N，與直線AC交于E、F兩點(diǎn)，若EF＝AC，求直線MN的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC＝90°

（1）在BC邊上找一點(diǎn)P，作⊙P與AC，AB邊都相切，與AC的切點(diǎn)為Q；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

（2）若AB＝4，AC＝6，求第（1）題中所作圓的半徑；

（3）連接BQ，第（2）題中的條件不變，求cos∠CBQ的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點(diǎn)C，使AB＝AC，連接AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為 E．

（1）求證：DC＝BD；

（2）求證：DE為⊙O的切線；

（3）若AB＝12，AD＝6，連接OD，求扇形BOD的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線y=ax2-4n+4經(jīng)過點(diǎn)P（2,4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l∥x軸，點(diǎn)C為第二象限內(nèi)直線l上方，拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m。

（1）如圖（1），若AB=6, 求拋物線解析式

（2）如圖（2），在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t,ACP的面積S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）如圖（3），連接OP，過點(diǎn)C作EC∥OP交拋物線于點(diǎn)E，直線PE、CP分別交x軸于點(diǎn)G、H，當(dāng)PG=PH時(shí)，求a的值。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，分別以AC、BC為直徑作半圓，其中M，N分別是AC、BC為直徑作半圓弧的中點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，則AB的長是（　�。�

A.17B.18C.19D.20

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）．將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°后，再向左平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)A′，則過點(diǎn)A′的正比例函數(shù)的解析式為_____．

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